Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
(1.0) \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)
Informações úteis fornecidas pelo enunciado ou óbvias pela função:
A função envolvida é x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right), definida para x\neq0 (e podemos considerar o limite quando x se aproxima de 0).
Para qualquer número real t vale a desigualdade
-1 \le \sin t \le 1.
A função x\mapsto x^{2} é não-negativa (x^{2}\ge 0) e tende a 0 quando x\to 0.
Passo 2
Usar a desigualdade da função seno aplicada ao argumento t=\dfrac{1}{x}. Como a desigualdade vale para todo t, temos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1
para todo x\neq 0.
Passo 3
Multiplicamos a desigualdade anterior por x^{2}. Como x^{2}\ge 0, a ordem das desigualdades é preservada ao multiplicar por x^{2}. Obtemos
pois |\sin(\cdot)|\le 1. Como x^{2}\to 0, segue que o valor absoluto da função tende a 0, logo a própria função tende a 0. Intuição: a parte \sin(1/x) oscila muito perto de 0, mas está limitada; o fator x^{2} vai a zero rápido, «anulando» as oscilações.