Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
(1.0) \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações úteis fornecidas pelo enunciado ou óbvias pela função:
  • A função envolvida é x^{2}\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{1}{x}\right), definida para x\neq0 (e podemos considerar o limite quando x se aproxima de 0).
  • Para qualquer número real t vale a desigualdade
-1 \le \sin t \le 1.
  • A função x\mapsto x^{2} é não-negativa ( x^{2}\ge 0) e tende a 0 quando x\to 0.

Passo 2

Usar a desigualdade da função seno aplicada ao argumento t=\dfrac{1}{x}. Como a desigualdade vale para todo t, temos
-1 \le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le 1
para todo x\neq 0.

Passo 3

Multiplicamos a desigualdade anterior por x^{2}. Como x^{2}\ge 0, a ordem das desigualdades é preservada ao multiplicar por x^{2}. Obtemos
-x^{2} \le x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right) \le x^{2}.

Passo 4

Calcular os limites das funções que «sanduicham» nossa função:
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Esses limites são fáceis porque x^{2} é uma função polinomial contínua e vale x^{2}\to 0 quando x\to 0.

Passo 5

Aplicar o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche): se para x próximo de 0 vale
g(x)\le f(x)\le h(x)
e \lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}h(x)=L, então \lim_{x\to 0}f(x)=L. Aqui tomamos
g(x)=-x^{2},\quad f(x)=x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right),\quad h(x)=x^{2},
e já vimos que \lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}h(x)=0. Portanto
\lim_{x\to 0} x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): uma forma equivalente e muitas vezes mais direta é usar valor absoluto:
\left|x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\right| \le x^{2},
pois |\sin(\cdot)|\le 1. Como x^{2}\to 0, segue que o valor absoluto da função tende a 0, logo a própria função tende a 0. Intuição: a parte \sin(1/x) oscila muito perto de 0, mas está limitada; o fator x^{2} vai a zero rápido, «anulando» as oscilações.

Resposta

0

Exercícios relacionados