Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
(0.6) \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{4 x^{5}-8 x^{3}+4 x^{2}}{3 x^{5}+15 x^{2}+11}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\to -\infty}\frac{4x^{5}-8x^{3}+4x^{2}}{3x^{5}+15x^{2}+11}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é o polinômio 4x^{5}-8x^{3}+4x^{2}.
  • O denominador é o polinômio 3x^{5}+15x^{2}+11.
  • Ambos os polinômios têm grau 5 (o maior expoente é 5).
  • Os coeficientes dos termos de maior grau são 4 no numerador e 3 no denominador.
  • A pergunta é: qual é o valor do limite (se existir) quando x\to -\infty.

Passo 2

Ideia e conceito que vamos usar (explicação didática):
  • Para limites de quociente de polinômios quando x\to\pm\infty, os termos de maior grau (os chamados termos dominantes) dominam o comportamento da função: os termos de grau menor tornam-se desprezíveis em comparação.
  • Em particular, se o numerador e o denominador têm o mesmo grau n, o limite quando x\to\pm\infty é o quociente dos coeficientes líderes (coeficientes dos termos x^{n}).
  • Uma maneira algébrica de ver isso sem apelar para regras como L’Hospital é dividir numerador e denominador por x^{n} (a maior potência comum), e usar que \tfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to\pm\infty para todo k>0.

Passo 3

Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por x^{5} (o maior grau que aparece):
\frac{4x^{5}-8x^{3}+4x^{2}}{3x^{5}+15x^{2}+11} = \frac{\dfrac{4x^{5}}{x^{5}}-\dfrac{8x^{3}}{x^{5}}+\dfrac{4x^{2}}{x^{5}}}{\dfrac{3x^{5}}{x^{5}}+\dfrac{15x^{2}}{x^{5}}+\dfrac{11}{x^{5}}}.
Agora simplificando cada fração:
\frac{4x^{5}-8x^{3}+4x^{2}}{3x^{5}+15x^{2}+11} = \frac{4 - \dfrac{8}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{3}}}{3 + \dfrac{15}{x^{3}} + \dfrac{11}{x^{5}}}.

Passo 4

Passo limite dos termos menores: quando x\to -\infty temos, para todo k>0,
\frac{1}{x^{k}}\to 0.
Portanto os termos com \dfrac{8}{x^{2}}, \dfrac{4}{x^{3}}, \dfrac{15}{x^{3}} e \dfrac{11}{x^{5}} tendem todos a 0. Assim, tomando o limite na expressão do Passo 3:
\lim_{x\to -\infty}\frac{4 - \dfrac{8}{x^{2}} + \dfrac{4}{x^{3}}}{3 + \dfrac{15}{x^{3}} + \dfrac{11}{x^{5}}} = \frac{4 - 0 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{4}{3}.
Observação curta e intuitiva: isso coincide com a regra prática de que, para graus iguais, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 5

Conclusão final: o limite existe e vale \dfrac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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