Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Ambos os polinômios têm grau
(o maior expoente é ). - Os coeficientes dos termos de maior grau são
no numerador e no denominador. - A pergunta é: qual é o valor do limite (se existir) quando
.
Passo 2
Ideia e conceito que vamos usar (explicação didática):
- Para limites de quociente de polinômios quando
, os termos de maior grau (os chamados termos dominantes) dominam o comportamento da função: os termos de grau menor tornam-se desprezíveis em comparação. - Em particular, se o numerador e o denominador têm o mesmo grau
, o limite quando é o quociente dos coeficientes líderes (coeficientes dos termos ). - Uma maneira algébrica de ver isso sem apelar para regras como L’Hospital é dividir numerador e denominador por
(a maior potência comum), e usar que quando para todo .
Passo 3
Aplicando a técnica: dividir numerador e denominador por
(o maior grau que aparece):
Agora simplificando cada fração:
Passo 4
Passo limite dos termos menores: quando
temos, para todo
,
Portanto os termos com
,
,
e
tendem todos a
. Assim, tomando o limite na expressão do Passo 3:
Observação curta e intuitiva: isso coincide com a regra prática de que, para graus iguais, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.
Passo 5
Conclusão final: o limite existe e vale
.