Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 7 m+2 x \quad, \text { se } \quad x \geq 5 \\\\ 3 x-m x \quad, \text { se } \quad x<5 \end{array} .\right.
Encontre o valor do parâmetro m para que a função f seja contínua em x=5.

Passo 1

O enunciado dá uma função por partes f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 7m+2x,\quad \text{se }x\ge 5,\\[4pt] 3x-mx,\quad \text{se }x<5. \end{array}\right.
O que o problema pede: encontrar o valor do parâmetro m para que f seja contínua em x=5.]

Passo 2

Lembrete (definição de continuidade em um ponto): a função f é contínua em x=5 se e somente se as três quantidades seguintes existirem e forem iguais:
  • o valor f(5);
  • o limite lateral pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to5^-}f(x);
  • o limite lateral pela direita \displaystyle\lim_{x\to5^+}f(x).
Para funções lineares (da forma ax+b) os limites ao se aproximar de um ponto são simplesmente os valores da expressão naquele ponto (linear é contínua em todo lugar). Vamos usar isso.

Passo 3

Calcular o valor de f(5). Como a definição usa a regra x\ge5 em x=5, devemos usar a primeira expressão:
f(5)=7m+2\cdot 5=7m+10.

Passo 4

Calcular o limite pela esquerda \displaystyle\lim_{x\to5^-}f(x). Para x<5 vale f(x)=3x-mx=(3-m)x. Como isso é uma função linear em x, basta substituir x=5:
\lim_{x\to5^-}f(x)=(3-m)\cdot 5=15-5m.

Passo 5

Calcular o limite pela direita \displaystyle\lim_{x\to5^+}f(x). Para x\ge5 vale f(x)=7m+2x; como é linear, ao aproximar x\to5^+ obtemos
\lim_{x\to5^+}f(x)=7m+2\cdot 5=7m+10.
Note que este limite é igual ao valor f(5) encontrado no Passo 3, como esperado pela continuidade a partir da direita.

Passo 6

Impor a condição de continuidade: os limites laterais devem ser iguais entre si (e igual a f(5)). Portanto igualamos o limite pela esquerda com o pela direita:
15-5m = 7m+10.
Resolver essa equação para m:
15-10 = 7m+5m \quad\Rightarrow\quad 5 = 12m \quad\Rightarrow\quad m=\frac{5}{12}.

Passo 7

Checagem rápida substituindo m=\dfrac{5}{12}:
\lim_{x\to5^-}f(x)=15-5m=15-5\cdot\frac{5}{12}=\frac{180-25}{12}=\frac{155}{12},
\lim_{x\to5^+}f(x)=7m+10=7\cdot\frac{5}{12}+10=\frac{35+120}{12}=\frac{155}{12}.
Ambos são iguais, então com m=\dfrac{5}{12} a função é contínua em x=5.

Resposta

m=\dfrac{5}{12}

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