Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
(0.8) \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt{5 x+1}-4}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar o limite
\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{5x+1}-4}{x-3}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão no numerador é \sqrt{5x+1}-4.
  • O denominador é x-3.
  • Quer-se o valor do limite quando x tende a 3.
    Não fazeremos a regra de L’Hospital (conforme pedido).

Passo 2

Teste rápido de substituição direta para detectar a indeterminação:
\sqrt{5\cdot 3+1}-4=\sqrt{16}-4=4-4=0
e
3-3=0.
Portanto ao substituir x=3 obtemos a forma \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão para simplificar.

Passo 3

Explicação da técnica que vamos usar (racionalização): quando aparece diferença envolvendo uma raiz do tipo \sqrt{A}-B, uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{A}+B. A razão é a identidade de diferença de quadrados:
(\sqrt{A}-B)(\sqrt{A}+B)=A-B^{2}.
Aqui A=5x+1 e B=4. Essa multiplicação costuma eliminar a raiz do numerador e permitir cancelar fatores comuns com o denominador.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{5x+1}+4:
\frac{\sqrt{5x+1}-4}{x-3}\cdot\frac{\sqrt{5x+1}+4}{\sqrt{5x+1}+4} =\frac{(\sqrt{5x+1}-4)(\sqrt{5x+1}+4)}{(x-3)\bigl(\sqrt{5x+1}+4\bigr)}.
Usando a identidade de diferença de quadrados no numerador obtemos
\frac{5x+1-16}{(x-3)\bigl(\sqrt{5x+1}+4\bigr)}.

Passo 5

Simplificar o numerador 5x+1-16:
5x+1-16=5x-15=5(x-3).
Logo a fração fica
\frac{5(x-3)}{(x-3)\bigl(\sqrt{5x+1}+4\bigr)}.

Passo 6

Cancelar o fator comum (x-3) (válido para x\neq 3, e em limites isso é permitido porque estamos considerando x próximo de 3, não exatamente igual):
\frac{5(x-3)}{(x-3)\bigl(\sqrt{5x+1}+4\bigr)}=\frac{5}{\sqrt{5x+1}+4}\qquad\text{para }x\neq 3.
Agora a expressão equivalente não tem mais indeterminação e é contínua perto de x=3.

Passo 7

Como a função \sqrt{5x+1} é contínua onde definida, podemos tomar o limite por substituição direta:
\lim_{x\to 3}\frac{5}{\sqrt{5x+1}+4}=\frac{5}{\sqrt{5\cdot 3+1}+4}=\frac{5}{\sqrt{16}+4}=\frac{5}{4+4}=\frac{5}{8}.

Passo 8

Interpretação final e número decimal opcional: \dfrac{5}{8}=0{,}625. Boa notícia: o limite existe e é finito.

Resposta

\dfrac{5}{8}

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