Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista, sem usar a regra de L’Hospital.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar o limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão no numerador é
. - O denominador é
. - Quer-se o valor do limite quando
tende a .
Não fazeremos a regra de L’Hospital (conforme pedido).
Passo 2
Teste rápido de substituição direta para detectar a indeterminação:
e
Portanto ao substituir
obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão para simplificar.
Passo 3
Explicação da técnica que vamos usar (racionalização): quando aparece diferença envolvendo uma raiz do tipo
, uma técnica clássica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado
. A razão é a identidade de diferença de quadrados:
Aqui
e
. Essa multiplicação costuma eliminar a raiz do numerador e permitir cancelar fatores comuns com o denominador.
Passo 4
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
:
Usando a identidade de diferença de quadrados no numerador obtemos
Passo 5
Simplificar o numerador
:
Logo a fração fica
Passo 6
Cancelar o fator comum
(válido para
, e em limites isso é permitido porque estamos considerando
próximo de
, não exatamente igual):
Agora a expressão equivalente não tem mais indeterminação e é contínua perto de
.
Passo 7
Como a função
é contínua onde definida, podemos tomar o limite por substituição direta:
Passo 8
Interpretação final e número decimal opcional:
. Boa notícia: o limite existe e é finito.