Q.3: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista.
Não utilize a regra de L’Hôpital! Porém, utilize as propriedades de limites, os limites fundamentais e teoremas para justificar suas respostas.
lim x 0^+(x^5 cos ^2(1x^8)+sen(x+3 pi))

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+l(x^5cos^2(1/x^8)+sin(x+3pi)r)
usando propriedades de limites, limites fundamentais e teoremas como o Teorema do Confronto (squeeze), mas sem usar L’Hôpital.

Passo 2

Analisamos o primeiro termo
x^5cos^2l(1/x^8r).
Como para todo t vale
0<= cos^2(t)<= 1,
temos
0 ;<=; x^5cos^2l(1/x^8r);<=; x^5
E sabemos que
limxto0^+x^5=0.
Pelo Teorema do Confronto,
limxto0^+x^5cos^2(1/x^8)=0

Passo 3

Agora o segundo termo
sin(x+3pi).
Usamos a identidade de soma de ângulos
sin(a+b)=sin acos b+cos asin b
com a=x e b=3pi. Como cos3pi=-1 e sin3pi=0, vem
sin(x+3pi)=sin xcdot(-1)+cos xcdot0=-sin x
E limxto0sin x=0, logo
limxto0^+sin(x+3pi)=0

Passo 4

Como a soma de limites existe e é a soma dos limites, temos
limxto0^+l(x^5cos^2(1/x^8)+sin(x+3pi)r) =;0+0 =0

Resposta

0

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