Q.3: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista.
Não utilize a regra de L’Hôpital! Porém, utilize as propriedades de limites, os limites fundamentais e teoremas para justificar suas respostas.
lim x 0(a^3 x-1cossec(3 x))

Passo 1

O enunciado pede
limx to 0a^3x-1cossec(3x)
O conteúdo aqui envolve manipulação algébrica de trigonometria e limites fundamentais:
  1. cossec(y)=1sin(y).
  2. limuto0a^u-1u=ln(a).
  3. limvto0sin(v)v=1.

Passo 2

Usamos cossec(3x)=1/sin(3x). Então
a^3x-1cossec(3x) =l(a^3x-1r),sin(3x)

Passo 3

Note que limxto0a^3x-1=0 e sin(3x) é limitada (ficando entre -1 e 1). Sempre que uma função tende a zero e a outra é limitada, o produto tende a zero. Logo
limxto0l(a^3x-1r)sin(3x)=0

Passo 4

Para reforçar com limites fundamentais, escrevemos
a^3x-1 = 3xcdota^3x-13xlongrightarrow 3xcdotln(a), sin(3x)=3xcdotsin(3x)3xlongrightarrow 3xcdot1
Multiplicando dá
l(a^3x-1r)sin(3x)siml(3xln(a)r),(3x)=9x^2ln(a),
e limxto09x^2ln(a)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados