Seja y=phi(x) a população de uma certa espécie em um determinado tempo t. O conceito mais simples sobre crescimento populacional é que a taxa em que a população cresce é proporcional ao valor da população no mesmo instante de tempo. Isto, em termos de EDO’s, é descrito como
d yd t=r y,
onde a constante de proporcionalidade r é chamada de taxa de crescimento ou declínio, a depender do sinal de r. Suponhamos, no que segue, que r>0 (ou seja, que a população está em crescimento).
a) Resolva a EDO em (1) sujeita à condição inicial y(0)=y0.
b) Discuta o modelo acima quanto a precisão e o que ele eventualmente desconsidera.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de crescimento populacional que diz que a taxa de crescimento é proporcional à população no instante, ou seja, temos a EDO
dydt = r,y,
com r>0 e condição inicial y(0)=y0. O conteúdo é solução de uma EDO de variáveis separáveis e discussão de validade do modelo.

Passo 2

Separe variáveis e integre:
1y,dydt = r Longrightarrow integral 1y,dy = integral r,dt
ln|y| = r,t + C
onde C é constante de integração.

Passo 3

Reescrevendo e impondo y(0)=y0:
y(t) = e^r,t + C = e^C,e^r,t
Como y(0)=e^C=y0, segue
y(t)=y0,e^r,t

Passo 4

Esse modelo é chamado de crescimento exponencial e, apesar de simples, apresenta várias limitações práticas, pois:
  • Assume taxa r constante e recursos ilimitados;
  • Não leva em conta efeito de competição ou capacidade de suporte do ambiente (densidade dependente);
  • Ignora fatores sazonais, variações ambientais e migrações;
  • Desconsidera estrutura etária e estocasticidade populacional.

Resposta

(a) y(t)=y0e^r,t.
(b) O modelo é muito idealizado: supõe recursos infinitos e taxa de crescimento constante, não considera limitação por competição, capacidade de suporte, variações ambientais, estrutura etária nem flutuações aleatórias.

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