Seja
a população de uma certa espécie em um determinado tempo
. O conceito mais simples sobre crescimento populacional é que a taxa em que a população cresce é proporcional ao valor da população no mesmo instante de tempo. Isto, em termos de EDO’s, é descrito como
onde a constante de proporcionalidade
é chamada de taxa de crescimento ou declínio, a depender do sinal de
. Suponhamos, no que segue, que
(ou seja, que a população está em crescimento).
a) Resolva a EDO em (1) sujeita à condição inicial
.
b) Discuta o modelo acima quanto a precisão e o que ele eventualmente desconsidera.
a) Resolva a EDO em (1) sujeita à condição inicial
b) Discuta o modelo acima quanto a precisão e o que ele eventualmente desconsidera.
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo de crescimento populacional que diz que a taxa de crescimento é proporcional à população no instante, ou seja, temos a EDO
com
e condição inicial
. O conteúdo é solução de uma EDO de variáveis separáveis e discussão de validade do modelo.
Passo 2
Separe variáveis e integre:
onde
é constante de integração.
Passo 3
Reescrevendo e impondo
:
Como
, segue
Passo 4
Esse modelo é chamado de crescimento exponencial e, apesar de simples, apresenta várias limitações práticas, pois:
- Assume taxa
constante e recursos ilimitados; - Não leva em conta efeito de competição ou capacidade de suporte do ambiente (densidade dependente);
- Ignora fatores sazonais, variações ambientais e migrações;
- Desconsidera estrutura etária e estocasticidade populacional.
Resposta
(a)
.
(b) O modelo é muito idealizado: supõe recursos infinitos e taxa de crescimento constante, não considera limitação por competição, capacidade de suporte, variações ambientais, estrutura etária nem flutuações aleatórias.
(b) O modelo é muito idealizado: supõe recursos infinitos e taxa de crescimento constante, não considera limitação por competição, capacidade de suporte, variações ambientais, estrutura etária nem flutuações aleatórias.