Determine os valores de times que satisfazem a inequação e a equação:
|2-x| <= 1-x^2|x|

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a expressão
|2 - x| <= 1 - x^2|x|,,
a) resolver a inequação e
b) resolver a equação correspondente
|2 - x| = 1 - x^2|x|,
O conteúdo envolvido é manipular valores absolutos e expressões racionais, o que exige definir o domínio (denominador não nulo e sinal do membro direito) e depois separar casos conforme o sinal de x e de 2-x.

Passo 2

Determinar o domínio de validade do membro direito
1 - x^2|x|
Para existir, xneq 0. Além disso, como o lado esquerdo |2-x|>=0, o lado direito precisa ser não negativo:
1 - x^2|x|>=0 Longrightarrow 1 - x^2 >= 0 Longrightarrow |x|<=1
Logo o domínio é
xin[-1,0);cup;(0,1]

Passo 3

Resolver a inequação para x>0.
Nesse caso |x|=x e, como 0<x<=1, temos 2-x>0 e |2-x|=2-x. A inequação vira
2 - x <= 1 - x^2x =1x - x
Multiplicando por x>0:
2x - x^2 <= 1 - x^2 Longrightarrow 2x <= 1 Longrightarrow x <= tfrac12
Intersectando com 0<x<=1
0 < x <= tfrac12

Passo 4

Resolver a inequação para x<0.
Aqui |x|=-x e |2-x|=2-x (pois 2-x>2). A inequação se torna
2 - x <= 1 - x^2-,x
Como -x>0, multiplicamos ambos os lados por -x:
(2 - x)(-x) <= 1 - x^2 Longrightarrow -2x + x^2 <= 1 - x^2 Longrightarrow 2x^2 -2x -1 <= 0
As raízes da quadrática 2x^2 -2x -1=0 são
x = 1pmraiz1+22 = 1pmraiz32,
logo 2x^2 -2x -1<=0 para
,tfrac1-raiz32<= x<=tfrac1+raiz32
Mas em x<0 só cabe
tfrac1-raiz32 <= x <0

Passo 5

Juntando os casos positivos e negativos, o conjunto de solução da inequação é
x in l[tfrac1-raiz32,,0r);cup;l(0,,tfrac12r]

Passo 6

Agora resolvemos a equação
|2 - x| = 1 - x^2|x|
Repetindo a separação:
  • Para x>0 obtemos 2-x = tfrac1x - x, o que dá 2x=1 e x=tfrac12.
  • Para x<0 obtemos 2x^2-2x-1=0, cujas raízes são tfrac1-raiz32 e tfrac1+raiz32, mas apenas tfrac1-raiz32 está em [-1,0).

Resposta

Inequação:
x in l[tfrac1-raiz32,,0r);cup;l(0,,tfrac12r]
Equação:
x = 12 ou x = 1-raiz32

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