Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas e objetivo:
- A função envolvida é
. - É pedido o limite quando
tende para . - Note que em
o denominador é zero, então a expressão não está definida em ; portanto devemos analisar os limites laterais (pela direita e pela esquerda) e ver se eles coincidem.
Passo 2
Entender a expressão usando a definição do valor absoluto (isso é importante e é a simplificação mais direta).
Para qualquer número real
Tomando
se simplifica em cada ramo:
- Se
, então e
- Se
, então e
Observação: em
a expressão não está definida (divisão por zero).]
Passo 3
Cálculo do limite pela direita
.
Escolha qualquer . Para todo
com
(ou seja,
se aproximando de
pela direita) acabamos de ver que a expressão vale exatamente
. Assim, existe
(qualquer
) tal que
Escolha qualquer
Pelo Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto ou Squeeze): se uma função
satisfaz
em um intervalo à direita de
, então
. Aplicando isso obtemos
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda
.
Para todo com
(aproximando-se de
pela esquerda) a expressão vale exatamente
. Logo, existe
tal que
Para todo
Pelo mesmo raciocínio do Teorema do Confronto (agora com constantes iguais a
), obtemos
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral.
Como os limites laterais são diferentes:
Como os limites laterais são diferentes:
o limite bilateral
NÃO existe. Outra forma de ver isso é tomar duas sequências
e
; então a sequência de valores da função ao longo de
tende a
e ao longo de
tende a
, mostrando a não existência do limite.
Passo 6
Breve aula sobre o Teorema do Confronto e os limites fundamentais (exigidos).
- Teorema do Confronto (enunciado simples): se
para num entorno de (exceto possivelmente em ) e , então . No nosso problema aplicamos esse teorema de forma trivial quando a função é constante num dos lados (constantes servem como funções extremas iguais). - Limite trigonométrico fundamental:
. Uma prova clássica usa o Teorema do Confronto com as desigualdades geométricas para pequeno, levando ao limite . - Limite exponencial fundamental:
. Uma demonstração usa a função logaritmo e a definição de através da série ou do exponencial inverso.
Esses dois limites fundamentais frequentemente são usados para calcular limites mais complicados; aqui foram lembrados e justificados pelo Teorema do Confronto conforme pedido. Note que, para a função dada no problema, a simplificação por definição do valor absoluto era suficiente e direta.
Resposta
O limite não existe.