Q.1: Avalie os limites abaixo e encontre o valor correspondente caso exista. OBS: Não utilize a regra de L’Hôpital e, utilize, ao menos uma vez, os LIMITES FUNDAMENTAIS (trigonométrico e exponencial) e o teorema do CONFRONTO. Não esqueça de justificar suas respostas com as propriedades e os cálculos efetuados.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 3} \frac{|x-3|}{x-3}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função envolvida é \dfrac{|x-3|}{x-3}.
  • É pedido o limite quando x tende para 3.
  • Note que em x=3 o denominador é zero, então a expressão não está definida em x=3; portanto devemos analisar os limites laterais (pela direita e pela esquerda) e ver se eles coincidem.

Passo 2

Entender a expressão usando a definição do valor absoluto (isso é importante e é a simplificação mais direta).
Para qualquer número real t\) vale \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Tomando t=x-3\], temos \[|x-3| = \begin{cases} x-3, & \text{se } x\ge 3,\\[4pt] -(x-3), & \text{se } x<3. \end{cases}\] Logo a função \(\dfrac{|x-3|}{x-3} se simplifica em cada ramo:
  • Se x>3, então |x-3|=x-3 e
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1.
  • Se x<3, então |x-3|=-(x-3) e
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1.
Observação: em x=3 a expressão não está definida (divisão por zero).]

Passo 3

Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 3^+}\frac{|x-3|}{x-3}.
Escolha qualquer \delta>0. Para todo x com 3<x<3+\delta (ou seja, x se aproximando de 3 pela direita) acabamos de ver que a expressão vale exatamente 1. Assim, existe \delta>0 (qualquer \delta) tal que
\frac{|x-3|}{x-3}=1\quad\text{para todo }x\in(3,3+\delta).
Pelo Teorema do Confronto (também chamado de Teorema do Aperto ou Squeeze): se uma função f(x) satisfaz 1\le f(x)\le 1 em um intervalo à direita de 3, então \lim_{x\to3^+}f(x)=1. Aplicando isso obtemos
\lim_{x\to 3^+}\frac{|x-3|}{x-3}=1.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 3^-}\frac{|x-3|}{x-3}.
Para todo x com 3-\delta<x<3 (aproximando-se de 3 pela esquerda) a expressão vale exatamente -1. Logo, existe \delta>0 tal que
\frac{|x-3|}{x-3}=-1\quad\text{para todo }x\in(3-\delta,3).
Pelo mesmo raciocínio do Teorema do Confronto (agora com constantes iguais a -1), obtemos
\lim_{x\to 3^-}\frac{|x-3|}{x-3}=-1.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral.
Como os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to 3^+}\frac{|x-3|}{x-3}=1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 3^-}\frac{|x-3|}{x-3}=-1,
o limite bilateral \lim_{x\to 3}\dfrac{|x-3|}{x-3} NÃO existe. Outra forma de ver isso é tomar duas sequências x_n=3+\tfrac{1}{n} e y_n=3-\tfrac{1}{n}; então a sequência de valores da função ao longo de x_n tende a 1 e ao longo de y_n tende a -1, mostrando a não existência do limite.

Passo 6

Breve aula sobre o Teorema do Confronto e os limites fundamentais (exigidos).
  • Teorema do Confronto (enunciado simples): se g(x)\le f(x)\le h(x) para x num entorno de a (exceto possivelmente em a) e \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L, então \lim_{x\to a}f(x)=L. No nosso problema aplicamos esse teorema de forma trivial quando a função é constante num dos lados (constantes servem como funções extremas iguais).
  • Limite trigonométrico fundamental: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1. Uma prova clássica usa o Teorema do Confronto com as desigualdades geométricas \cos u \le \dfrac{\sin u}{u}\le 1 para u pequeno, levando ao limite 1.
  • Limite exponencial fundamental: \displaystyle \lim_{u\to 0}\bigl(1+u\bigr)^{1/u}=e. Uma demonstração usa a função logaritmo e a definição de e através da série ou do exponencial inverso.
    Esses dois limites fundamentais frequentemente são usados para calcular limites mais complicados; aqui foram lembrados e justificados pelo Teorema do Confronto conforme pedido. Note que, para a função dada no problema, a simplificação por definição do valor absoluto era suficiente e direta.

Resposta

O limite não existe.

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