Mostre que:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=0.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right)\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função considerada é \;f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.
  • Quer-se o limite de f(x,y) quando o par (x,y) se aproxima de (0,0).
  • Não há outras condições (como caminho específico), então o limite deve ser o mesmo por qualquer aproximação de (0,0).

Passo 2

Observação útil (por que isso facilita): a expressão depende apenas de x^{2}+y^{2}. Isso sugere passar para uma variável radial que mede a distância ao origin: defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui r\ge 0 e (x,y)\to(0,0) se e só se r\to 0^+. Essa mudança transforma a função de duas variáveis numa função de uma única variável r, o que é muito mais simples de estudar.

Passo 3

Reescrevendo a função em termos de r:
\left(x^{2}+y^{2}\right)\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r^{2}\ln r,
porque \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r e \ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\ln r (para r>0). Assim o limite pedido equivale a
\lim_{r\to 0^{+}} r^{2}\ln r.

Passo 4

Para mostrar que \lim_{r\to 0^{+}} r^{2}\ln r=0 é prático trabalhar com o valor absoluto e provar que ele tende a zero:
\bigl|r^{2}\ln r\bigr|=r^{2}\bigl|\ln r\bigr|.
Faça a substituição r=e^{-t} com t=-\ln r. Quando r\to 0^{+} tem-se t\to+\infty. Então
r^{2}\bigl|\ln r\bigr|=e^{-2t}\,t=\frac{t}{e^{2t}}.

Passo 5

Estudar \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{2t}}. Essa é uma forma \frac{\text{polinomial}}{\text{exponencial}}. Exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, logo a fração tende a zero; para um argumento rigoroso pode-se aplicar l’Hôpital:
\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{2t}} =\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{2e^{2t}}=0.
Portanto \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{2t}}=0, o que implica \lim_{r\to 0^{+}}r^{2}|\ln r|=0.

Passo 6

Como o valor absoluto tende a zero, o próprio termo tende a zero:
\lim_{r\to 0^{+}}r^{2}\ln r=0.
Voltando à variável original (x,y), concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right)\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0.

Resposta

0

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