A função considerada é \;f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)\ln\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.
Quer-se o limite de f(x,y) quando o par (x,y) se aproxima de (0,0).
Não há outras condições (como caminho específico), então o limite deve ser o mesmo por qualquer aproximação de (0,0).
Passo 2
Observação útil (por que isso facilita): a expressão depende apenas de x^{2}+y^{2}. Isso sugere passar para uma variável radial que mede a distância ao origin: defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui r\ge 0 e (x,y)\to(0,0) se e só se r\to 0^+. Essa mudança transforma a função de duas variáveis numa função de uma única variável r, o que é muito mais simples de estudar.
Estudar \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{e^{2t}}. Essa é uma forma \frac{\text{polinomial}}{\text{exponencial}}. Exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios, logo a fração tende a zero; para um argumento rigoroso pode-se aplicar l’Hôpital: