Avalie
\oint_{C} \frac{d z}{z^{2}-1},
em que C é o círculo |z|=2.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral de contorno
\oint_{C} \frac{dz}{z^{2}-1},
onde C é o círculo \lvert z\rvert=2.
Esse problema envolve o Teorema dos Resíduos de Cauchy, que afirma que, para uma função meromorfa, a integral em uma curva fechada é 2\pi i vezes a soma dos resíduos dos polos dentro da curva.

Passo 2

Identificamos as singularidades de
f(z)=\frac{1}{z^{2}-1}
resolvendo z^{2}-1=0. Assim, os polos simples são
z=1\quad\text{e}\quad z=-1.
Ambos estão dentro de C, pois \lvert1\rvert=1<2 e \lvert-1\rvert=1<2.

Passo 3

Calculamos cada resíduo usando
\Res(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)\,f(z).
Para a=1:
\Res(f,1)=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{1}{(z-1)(z+1)} =\frac{1}{1+1}=\frac12.
Para a=-1:
\Res(f,-1)=\lim_{z\to-1}(z+1)\frac{1}{(z-1)(z+1)} =\frac{1}{-1-1}=-\frac12.

Passo 4

Pelo Teorema dos Resíduos de Cauchy:
\oint_{C}f(z)\,dz =2\pi i\sum_{\substack{\text{polos}\\text{dentro de }C}}\Res(f,a) =2\pi i\Bigl(\tfrac12+(-\tfrac12)\Bigr) =2\pi i\cdot0 =0.

Resposta

0

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