Mostre que
t g^{-1} z=\frac{i}{2} \ln \left(\frac{i+z}{i-z}\right),
Sugestão: Expresse as funções trigonométrica e hiperbólica em termos de exponenciais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\operatorname{tg}^{-1}(z)=\frac{i}{2}\ln\!\biggl(\frac{i+z}{i-z}\biggr),
ou seja, derivar a fórmula do arctangente complexa. Vamos usar a definição \operatorname{tg}(w)=z e expressar \sin e \cos em termos de exponenciais para resolver w.

Passo 2

Defina w=\operatorname{tg}^{-1}(z). Então
\tan(w)=z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sin(w)}{\cos(w)}=z.
Como
\sin(w)=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2i}, \qquad \cos(w)=\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2},
segue
z =\frac{\displaystyle\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2i}}% {\displaystyle\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2}} =\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{\,i\,(e^{i w}+e^{-i w})} =\frac{e^{2i w}-1}{\,i\,(e^{2i w}+1)}.

Passo 3

Chame u=e^{2i w}. A equação fica
z=\frac{u-1}{i(u+1)} \quad\Longrightarrow\quad u-1=i\,z\,(u+1) \quad\Longrightarrow\quad u(1-i z)=1+i z \quad\Longrightarrow\quad u=\frac{1+i z}{1-i z}.

Passo 4

Como u=e^{2i w}, temos
2i\,w=\ln\!\bigl(u\bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{1+i z}{1-i z}\Bigr),
daí
w=-\frac{i}{2}\,\ln\!\Bigl(\frac{1+i z}{1-i z}\Bigr).

Passo 5

Observe que
\frac{1+i z}{1-i z} =\frac{i(1+i z)}{i(1-i z)} =\frac{i - z}{\,i + z\,} \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\tfrac{1+i z}{1-i z}\Bigr) =\ln\!\Bigl(\tfrac{i - z}{i + z}\Bigr) =-\ln\!\Bigl(\tfrac{i+z}{i-z}\Bigr).
Substituindo em w obtém-se
w =-\frac{i}{2}\bigl(-\ln\!\bigl(\tfrac{i+z}{i-z}\bigr)\bigr) =\frac{i}{2}\,\ln\!\Bigl(\frac{i+z}{i-z}\Bigr).

Resposta

\operatorname{tg}^{-1}(z)=\frac{i}{2}\ln\!\Bigl(\frac{i+z}{i-z}\Bigr).

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