5-) Avalie o perfil de velocidade e uma expressão para determinação da viscosidade de um escoamento através de um viscosímetro de pratos paralelos com raio igual a R. Considere que o prato da parte superior se encontra em movimento angular constante enquanto que o prato inferior permanece em repouso. Considere também a distancia entre os pratos igual a L .

Passo 1

O enunciado trata de um viscosímetro de pratos paralelos de raio R e distância entre pratos L, em que o prato superior gira com velocidade angular constante Omega e o prato inferior está parado. O conteúdo é escoamento de Couette para fluido newtoniano em regime estacionário, e vamos precisar usar o balanço de momento em coordenadas cilíndricas para obter o perfil de velocidade e depois relacionar o torque medido com a viscosidade mu.

Passo 2

Assumimos escoamento laminar, estacionário, sem gradiente de pressão e sem componentes de velocidade nas direções radial e axial ( vr = vz = 0), de modo que a única componente não nula é vtheta(r,z). O balanço de momento no sentido theta reduz-se a
0 ;=;mu,partial^2 vthetapartial z^2,
Integrando duas vezes em z,
vtheta(r,z)=A(r),z + B(r),
Pelos contornos vtheta(r,0)=0 e vtheta(r,L)=r,Omega obtém-se B(r)=0 e A(r)=rOmega/L. Logo
vtheta(r,z)=r,OmegaL;z,

Passo 3

O gradiente de velocidade no escoamento é
partial vthetapartial z = r,OmegaL,,
e a tensão de cisalhamento vale
taurz = mu,partial vthetapartial z = mu,r,OmegaL,

Passo 4

O torque total T devido à tensão de cisalhamento sobre o prato é obtido integrando o momento da força de cisalhamento num anel de raio r e espessura dr:
dT = taurz,l(2pi r,drr),r Longrightarrow T = integral0^Rmu,r,OmegaL,2pi r,dr,r,

Passo 5

Fazendo a integral em r:
T = 2pimu,OmegaLintegral0^Rr^3,dr = 2pimu,OmegaL,R^44 = pi,mu,Omega,R^42,L,
Isolando mu, chega-se à expressão de determinação da viscosidade:
mu = 2,T,Lpi,Omega,R^4,

Resposta

Perfil de velocidade:
vtheta(r,z)=r,OmegaL,z
Viscosidade em função do torque T:
mu = 2,T,Lpi,Omega,R^4,

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