3- Considere um tanque esférico de alumínio utilizado para armazenar gelo a 0^circ C com raio interno de 0,6 m, parede com 10 cm de espessura e k=15,1 W /(m ^circ C). A superfície exposta do recipiente troca calor por convecção com o ar ambiente a 30^circ C e h=20 W /(m^2 ^circ C). Pede-se:
(a) Escreva a equação diferencial que descreve a condução de calor através da parede;
(b) Resolva a equação para obter o perfil de temperatura na parede do tanque em função da posição radial, usando como condições de contorno as temperaturas das superfícies T1( em r=r1) e T2( em r=r2 );
(c) Aplique um balanço de energia na superfície r=r2 para estimar a temperatura T2;
(d) Obtenha a taxa de ganho de calor (em W).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um tanque esférico com gelo a T1=0^circC na superfície interna de raio r1=0,6;m, parede de alumínio de espessura 0,1;m (logo o raio externo é r2=0,7;m), condutividade k=15,1;W/(m,^circ C). A superfície externa troca calor por convecção com o ar a Tinfty=30^circC usando coeficiente h=20;W/(m^2,^circ C).
Conteúdo: condução estacionária em coordenadas esféricas e associação série de resistências térmicas.

Passo 2

Escrevemos a equação de energia sem geração em regime estacionário para condução radial em coordenadas esféricas:
1r^2ddr!l(r^2kdTdrr)=0

Passo 3

Integrando duas vezes, obtemos
k,r^2dTdr=C1, T(r)=C1k(-1r)+C2 =Ar+B
Impondo T(r1)=T1 e T(r2)=T2, chega-se ao perfil
T(r)=T1+l(T2-T1r), 1r-1r1 1r2-1r1

Passo 4

No contorno r=r2, a taxa de calor por condução deve igualar a de convecção, isto é
-qcond=k,4pi r2^2dTdr|r2 ;=; qconv=h,4pi r2^2l(T2-Tinftyr)
Da solução de T(r) temos
dTdr|r2 =-T2-T11r2-1r1cdot1r2^2
e portanto
q =4pi k,T1-T21r1-1r2 =4pi h,r2^2l(T2-Tinftyr)

Passo 5

Definimos as resistências térmicas em série:
Rcond =14pi kl(1r1-1r2r), Rconv =1h,4pi r2^2
Então
q=Tinfty-T1Rcond+Rconv, T2=T1+q,Rcond

Passo 6

Calculando numericamente:
Rcond =14pi,(15,1)l(tfrac10,6-tfrac10,7r)approx0,001255;^circC/W,
Rconv =120,4pi,(0,7)^2approx0,008118;^circC/W,
q =30-00,001255+0,008118approx3,20times10^3;W,
T2 =0+3,20times10^3times0,001255approx4,02^circC

Resposta

(a) 1r^2ddrl(r^2k,dTdrr)=0
(b) T(r)=T1+l(T2-T1r)1r-1r11r2-1r1
(c) T2approx4,02^circC
(d) qapprox3,20times10^3;W

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