Avalie a seguinte integral indefinida:
\int(\operatorname{sec} x \tan x+\csc x \cot x) d x
Escolha uma opção:
a. \quad \csc x \cot x+\operatorname{sec} x \tan x+C
b. \frac{\cot ^{2} x-\tan ^{2} x}{2}+C
c. \frac{\cot ^{2} x+\tan ^{2} x}{2}+C
d. \operatorname{sec} x+\csc x+C
e. \operatorname{sec} x-\csc x+C

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int(\operatorname{sec} x \tan x+\csc x \cot x)\,dx
Usaremos antiderivadas conhecidas de funções trigonométricas básicas.

Passo 2

A antiderivada de \operatorname{sec} x\tan x é \operatorname{sec} x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\bigr)=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 3

A antiderivada de \csc x\cot x é -\csc x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\csc x\bigr)=-\csc x\cot x.

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
\int(\operatorname{sec} x \tan x+\csc x \cot x)\,dx =\operatorname{sec} x-\csc x+C.

Passo 5

Comparando com as opções dadas, isso corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e)

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