A solução CORRETA da integral indefinida
\int \frac{2 x+9}{3 x^{2}+2 x+7} d x,
sendo C uma constante, é dada por:
Escolha uma opção:
a. \frac{1}{3} \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{9} \ln \left|\frac{3 x+2 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}-x}\right|+C.
b. \quad \frac{1}{3} \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{5 \sqrt{5}}{6} \arctan \left(\frac{3 x+1}{2 \sqrt{5}}\right)+C.
c. \quad \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{3} \ln \left|x+\frac{1}{3}+\sqrt{3 x^{2}+2 x+7}\right|+C.
d. \quad \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{9} \arctan \left(\frac{3 x+1}{2 \sqrt{5}}\right)+C.
e. \quad \frac{1}{3} \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{9} \ln \left|x+\frac{1}{3}+\sqrt{3 x^{2}+2 x+7}\right|+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x+9}{3x^{2}+2x+7}\,dx
que é uma fração racional cujo numerador tem grau menor que o denominador. Vamos usar duas ideias principais: decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e completar o quadrado para obter um arctan.

Passo 2

Escrevemos
2x+9 = A\,(6x+2) + B
onde 6x+2 é a derivada de 3x^2+2x+7. Igualando coeficientes:
6A = 2 \implies A=\tfrac13, \qquad 2A + B = 9 \implies B=9-\tfrac23 = \tfrac{25}{3}.
Logo
\frac{2x+9}{3x^2+2x+7} = \frac{1}{3}\,\frac{6x+2}{3x^2+2x+7} + \frac{25}{3}\,\frac{1}{3x^2+2x+7}.

Passo 3

Integramos a primeira parte usando \int f'(x)/f(x)\,dx=\ln|f(x)|:
\int \frac{1}{3}\,\frac{6x+2}{3x^2+2x+7}\,dx = \frac{1}{3}\ln\bigl|3x^2+2x+7\bigr|.

Passo 4

Para a segunda parte, completamos o quadrado no denominador:
3x^2+2x+7 = 3\Bigl(x^2+\tfrac{2}{3}x+\tfrac{7}{3}\Bigr) =3\Bigl((x+\tfrac13)^2 + \tfrac{20}{9}\Bigr) =3\Bigl((x+\tfrac13)^2 + ( \tfrac{2\sqrt5}{3} )^2\Bigr).

Passo 5

Fazendo u=x+\tfrac13 e lembrando \int du/(u^2+a^2)=\tfrac1a\arctan(u/a), temos
\int \frac{dx}{3x^2+2x+7} = \frac{1}{3}\int \frac{du}{u^2+(\tfrac{2\sqrt5}{3})^2} = \frac{1}{3}\,\frac{3}{2\sqrt5}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{2\sqrt5/3}\Bigr) = \frac{1}{2\sqrt5}\arctan\!\Bigl(\frac{3x+1}{2\sqrt5}\Bigr).
Multiplicando pelo coeficiente \tfrac{25}{3}
\frac{25}{3}\cdot\frac{1}{2\sqrt5} = \frac{25}{6\sqrt5} = \frac{5\sqrt5}{6}.

Resposta

b. \displaystyle \frac{1}{3}\ln\bigl|3x^{2}+2x+7\bigr|+\frac{5\sqrt{5}}{6}\arctan\!\Bigl(\frac{3x+1}{2\sqrt{5}}\Bigr)+C

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