A solução CORRETA da integral indefinida \int \frac{2 x+9}{3 x^{2}+2 x+7} d x,
sendo C uma constante, é dada por:
Escolha uma opção:
a. \frac{1}{3} \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{9} \ln \left|\frac{3 x+2 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}-x}\right|+C.
b. \quad \frac{1}{3} \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{5 \sqrt{5}}{6} \arctan \left(\frac{3 x+1}{2 \sqrt{5}}\right)+C.
c. \quad \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{3} \ln \left|x+\frac{1}{3}+\sqrt{3 x^{2}+2 x+7}\right|+C.
d. \quad \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{9} \arctan \left(\frac{3 x+1}{2 \sqrt{5}}\right)+C.
e. \quad \frac{1}{3} \ln \left|3 x^{2}+2 x+7\right|+\frac{25}{9} \ln \left|x+\frac{1}{3}+\sqrt{3 x^{2}+2 x+7}\right|+C
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x+9}{3x^{2}+2x+7}\,dx
que é uma fração racional cujo numerador tem grau menor que o denominador. Vamos usar duas ideias principais: decompor o numerador em parte proporcional à derivada do denominador e completar o quadrado para obter um arctan.
Passo 2
Escrevemos
2x+9 = A\,(6x+2) + B
onde 6x+2 é a derivada de 3x^2+2x+7. Igualando coeficientes: