Avalie a seguinte integral indefinida:

\int(\operatorname{sec} x \tan x+\csc x \cot x) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida:
\int (\operatorname{sec} x \tan x + \csc x \cot x)\,dx
Este é um exercício de cálculo integral que envolve funções trigonométricas e suas derivadas.

Passo 2

Podemos escrever a integral como soma de duas:
\int (\operatorname{sec} x \tan x + \csc x \cot x)\,dx = \int \operatorname{sec} x \tan x\,dx + \int \csc x \cot x\,dx.

Passo 3

Lembrando que
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x \tan x,
segue que
\int \operatorname{sec} x \tan x\,dx=\operatorname{sec} x + C_{1}.

Passo 4

De modo semelhante, temos
\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x \cot x,
portanto
\int \csc x \cot x\,dx=-\csc x + C_{2}.

Passo 5

Juntando os resultados e absorvendo C_{1} e C_{2} em uma única constante de integração C, obtemos
\int (\operatorname{sec} x \tan x + \csc x \cot x)\,dx =\operatorname{sec} x - \csc x + C.

Resposta

\operatorname{sec} x - \csc x + C

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