Avalie a seguinte integral
integral triplaB 8 x y z d V, onde B=[2,3] times[1,2] times[0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de 8xyz sobre o bloco B = [2,3] times [1,2] times [0,1]. Isso está relacionado com integrais múltiplas, especificamente integrais triplas, que servem pra calcular volumes e acumular quantidades em três dimensões. Para resolver, vamos precisar integrar cada variável uma de cada vez, usando a integração iterada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral tripla de forma mais detalhada. Como o bloco B é um paralelepípedo definido por intervalos fixos para x, y e z, podemos separar as integrais assim:
integral triplaB 8xyz , dV = integralx=2^3 integraly=1^2 integralz=0^1 8xyz , dz , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a z. Nessa parte, tratamos x e y como constantes porque estamos integrando apenas em z:
integral0^1 8xyz , dz = 8xy integral0^1 z , dz
A integral de z de 0 a 1 é:
integral0^1 z , dz = [ z^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12
Então:
8xy times 12 = 4xy

Passo 4

Agora, nossa integral ficou assim:
integral2^3 integral1^2 4xy , dy , dx
Vamos integrar agora em relação a y. Aqui, x ainda é uma constante:
integral1^2 4xy , dy = 4x integral1^2 y , dy
A integral de y de 1 a 2 é:
integral1^2 y , dy = [ y^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32
Então:
4x times 32 = 6x

Passo 5

Agora, resta só integrar em x:
integral2^3 6x , dx = 6 integral2^3 x , dx
A integral de x de 2 a 3 é:
integral2^3 x , dx = [ x^22 ]2^3 = 92 - 42 = 52
Então:
6 times 52 = 15

Resposta

O valor da integral tripla é 15.

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