Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar a solução geral da EDO
x y′ = y + √(x² + y²),
o conteúdo é de equações homogêneas e a gente vai usar a substituição y = u·x pra transformar num caso separável.
x y′ = y + √(x² + y²),
o conteúdo é de equações homogêneas e a gente vai usar a substituição y = u·x pra transformar num caso separável.
Passo 2
Fazendo y = u·x, temos y′ = u + x·u′. Substituindo na EDO:
x·(u + x·u′) = u·x + √(x² + (u·x)²).
Isso dá
x·u + x²·u′ = x·u + x·√(1 + u²).
Cancelando x·u em ambos os lados sobra
x²·u′ = x·√(1 + u²).
Passo 3
Isolando u′ e separando variáveis:
u′ = (1/x)·√(1 + u²)
ou seja
Passo 4
Integrando os dois lados:
Voltando a u = y/x, a solução geral fica:
Passo 5
Substituindo de volta u = y/x, a gente obtém a forma implícita da solução geral: