Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
Passo 1
A gente tem a equação diferencial de primeira ordem não linear
O enunciado é mostrar a solução geral de
Isso cai em uma equação “homogênea” depois de ver que as potências de x e y combinam. Vamos usar teoria de equações homogêneas: a substituição
transforma tudo numa equação separável em
e
.
Passo 2
Substituo
. Daí
Também
.
Passo 3
Faço a troca na equação original:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Passo 4
Igualando e cancelando
:
Agora é separável: passe tudo de
pra um lado e de
pro outro.
Passo 5
Separo e integro:
No lado de
: faça
, então
e
No lado de
:
Passo 6
Logo após integração temos
Lembrando que
, voltamos a
:
Multiplicando por
(assumindo
):
Passo 7
Esta é a solução geral implícita da equação diferencial, com constante arbitrária
.