Encontre a solução geral de cada equação diferencial abaixo (Material IME UERJ)
x y y^prime=y^2+x raiz4 x^2+y^2

Passo 1

A gente tem a equação diferencial de primeira ordem não linear
O enunciado é mostrar a solução geral de
x,y,y' = y^2 + xraiz4x^2 + y^2
Isso cai em uma equação “homogênea” depois de ver que as potências de x e y combinam. Vamos usar teoria de equações homogêneas: a substituição y = v x transforma tudo numa equação separável em v e x.

Passo 2

Substituo y = v x. Daí
y' = dydx = v + xdvdx
Também raiz4x^2 + y^2 = xraiz4 + v^2.

Passo 3

Faço a troca na equação original:
Lado esquerdo:
x,y,y' = x,(v x)l(v + xtfracdvdxr) = x^2,v,l(v + xtfracdvdxr)
Lado direito:
y^2 + xraiz4x^2 + y^2 = x^2v^2 + xl(xraiz4 + v^2r) = x^2v^2 + x^2raiz4 + v^2

Passo 4

Igualando e cancelando x^2v^2:
x^2v^2 + x^3vdvdx = x^2v^2 + x^2raiz4+v^2
x^3vdvdx = x^2raiz4+v^2
x,vdvdx = raiz4+v^2
Agora é separável: passe tudo de v pra um lado e de x pro outro.

Passo 5

Separo e integro:
vraiz4+v^2,dv = dxx
No lado de v: faça u = 4+v^2, então du = 2v,dv e
integral vraiz4+v^2,dv = 12integral duraizu = raizu = raiz4+v^2
No lado de x:
integral dxx = ln|x| + C

Passo 6

Logo após integração temos
raiz4 + v^2 = ln|x| + C
Lembrando que v = tfracyx, voltamos a y:
raiz4 + l(tfracyxr)^2 = ln|x| + C
Multiplicando por x (assumindo xneq0):
raiz4x^2 + y^2 = xl(ln|x| + Cr)

Passo 7

Esta é a solução geral implícita da equação diferencial, com constante arbitrária C.

Resposta

raiz4 + l(tfracyxr)^2 = ln|x| + C\nou equivalentemente
raiz4x^2 + y^2 = xl(ln|x| + Cr)

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