Avalie as seguintes integrais, convertendo-as em coordenadas polares.
, onde
é o círculo unitário centrado na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente avaliar a integral dupla
, onde a região
é um círculo unitário centrado na origem. Isso significa que estamos lidando com uma área circular de raio 1 no plano xy. Para resolver essa integral, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, θ), que são mais adequadas para regiões circulares. Então, precisamos saber como mudar de coordenadas e ajustar a integral para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos as relações:
Além disso, o elemento de área diferente em coordenadas polares é dado por
. Isso significa que ao converter a integral para polares, substituímos
por
.
Passo 3
Agora, vamos ajustar os limites de integração. Como
é um círculo unitário centrado na origem:
- O raio
vai de 0 até 1. - O ângulo θ varia de 0 até
para cobrir todo o círculo.
Então, nossa integral em coordenadas polares fica assim:
Passo 4
Vamos agora resolver a integral interna em relação a
. Temos:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples:
Seja , então
ou
.
Seja
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
A integral de
de 0 a
é simplesmente
, então:
Resposta
A integral dupla avaliada é
.