Avalie as seguintes integrais, convertendo-as em coordenadas polares.
integral duplaD e^x^2+y^2 d A, onde D é o círculo unitário centrado na origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente avaliar a integral dupla integral duplaD e^x^2+y^2 dA, onde a região D é um círculo unitário centrado na origem. Isso significa que estamos lidando com uma área circular de raio 1 no plano xy. Para resolver essa integral, vamos converter as coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, θ), que são mais adequadas para regiões circulares. Então, precisamos saber como mudar de coordenadas e ajustar a integral para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, temos as relações:
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • x^2 + y^2 = r^2
Além disso, o elemento de área diferente em coordenadas polares é dado por dA = r , dr , dtheta. Isso significa que ao converter a integral para polares, substituímos dA por r , dr , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Como D é um círculo unitário centrado na origem:
  • O raio r vai de 0 até 1.
  • O ângulo θ varia de 0 até 2pi para cobrir todo o círculo.
Então, nossa integral em coordenadas polares fica assim:
integral0^2pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos agora resolver a integral interna em relação a r. Temos:
integral0^1 e^r^2 cdot r , dr
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples:
Seja u = r^2, então du = 2r , dr ou r , dr = 12 du.
Substituindo na integral:
12 integral0^1 e^u , du = 12 [e^u]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) integral0^2pi dtheta
A integral de dtheta de 0 a 2pi é simplesmente 2pi, então:
12 (e - 1) cdot 2pi = pi (e - 1)

Resposta

A integral dupla avaliada é pi (e - 1).

Exercícios relacionados