Sejam A e B dois conjuntos não vazios de números que são limitados superiormente, e seja A+B o conjunto de todos os números x+y com x in A e y in B. Prove que sup (A+B)=sup A+sup B.
Dica: A desigualdade sup (A+B) <= sup A+sup B é fácil. Por quê? Para provar que sup A+sup B <= sup (A+B), basta provar que sup A+sup B <= sup (A+B)+varepsilon para todo varepsilon>0; comece escolhendo x in A e y in B com sup A-x e sup B-y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois conjuntos não vazios e limitados superiormente A e B, o supremo do conjunto soma A+B (definido como {x+y : x∈A, y∈B}) é igual à soma dos supremos de A e de B. O conteúdo envolvido é teoria do supremo (menor majorante) e propriedades de soma de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, mostramos que sup(A+B) <= sup A + sup B. De fato, para todo xin A e yin B temos x<=sup A e y<=sup B, logo
x+y <= sup A + sup B
Como isso vale para todos os elementos de A+B, o menor majorante de A+B satisfaz
sup(A+B) <= sup A + sup B

Passo 3

Agora, para a desigualdade inversa sup A + sup B <= sup(A+B), tomamos um varepsilon>0. Pelo caráter de supremum de sup A, existe xin A tal que
sup A - x < varepsilon2
De modo análogo, existe yin B com
sup B - y < varepsilon2
Somando as duas desigualdades obtemos
(sup A + sup B) - (x+y) < varepsilon
ou seja
x+y > sup A + sup B - varepsilon
Como x+yin A+B e sup(A+B) é o menor majorante, segue
sup(A+B) >= x+y > sup A + sup B - varepsilon
Como isto vale para todo varepsilon>0, concluímos
sup(A+B) >= sup A + sup B

Passo 4

Juntando as duas desigualdades obtidas, temos
sup(A+B) = sup A + sup B,
que era o que queríamos provar.

Resposta

sup(A+B)=sup A+sup B

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