Sejam
e
dois conjuntos não vazios de números que são limitados superiormente, e seja
o conjunto de todos os números
com
e
. Prove que
.
Dica: A desigualdade
é fácil. Por quê? Para provar que
, basta provar que
para todo
; comece escolhendo
e
e
.
Dica: A desigualdade
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados dois conjuntos não vazios e limitados superiormente A e B, o supremo do conjunto soma A+B (definido como {x+y : x∈A, y∈B}) é igual à soma dos supremos de A e de B. O conteúdo envolvido é teoria do supremo (menor majorante) e propriedades de soma de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, mostramos que
. De fato, para todo
e
temos
e
, logo
Como isso vale para todos os elementos de
, o menor majorante de
satisfaz
Passo 3
Agora, para a desigualdade inversa
, tomamos um
. Pelo caráter de supremum de
, existe
tal que
De modo análogo, existe
com
Somando as duas desigualdades obtemos
ou seja
Como
e
é o menor majorante, segue
Como isto vale para todo
, concluímos
Passo 4
Juntando as duas desigualdades obtidas, temos
que era o que queríamos provar.