Avalie as seguintes integrais, convertendo-as em coordenadas polares.
, onde
é a porção da região entre os círculos de raio 2 e raio 5 centrado na origem que se encontra no primeiro quadrante.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos avaliar a integral dupla
, onde
é a região que está entre os círculos de raio 2 e 5, centrados na origem, e que fica no primeiro quadrante. Para facilitar a resolução, vamos converter essa integral para coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares, as variáveis cartesianas
são relacionadas com as polares
pelas seguintes fórmulas:
Vamos substituir essas expressões na integral original.
Passo 3
Substituindo
,
e
na integral, temos:
Simplificando a expressão:
Portanto, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a
. A parte que depende de
é
. A integral de
em relação a
é:
Avaliando de
a
:
Portanto, a integral agora fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. A integral de
pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Avaliando de
a
:
Portanto, o resultado final da integral é:
Resposta
O valor da integral é
.