Avalie as seguintes integrais, convertendo-as em coordenadas polares.
integral duplaD 2 x y d A, onde D é a porção da região entre os círculos de raio 2 e raio 5 centrado na origem que se encontra no primeiro quadrante.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos avaliar a integral dupla integral duplaD 2 x y , dA, onde D é a região que está entre os círculos de raio 2 e 5, centrados na origem, e que fica no primeiro quadrante. Para facilitar a resolução, vamos converter essa integral para coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares, as variáveis cartesianas (x, y) são relacionadas com as polares (r, theta) pelas seguintes fórmulas:
x = r costheta y = r sintheta dA = r , dr , dtheta
Vamos substituir essas expressões na integral original.

Passo 3

Substituindo x, y e dA na integral, temos:
integral duplaD 2 x y , dA = integral0^pi2 integral2^5 2 (r costheta)(r sintheta) cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
2 (r costheta)(r sintheta) cdot r = 2 r^3 sintheta costheta
Portanto, a integral fica:
integral0^pi2 integral2^5 2 r^3 sintheta costheta , dr , dtheta

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a r. A parte que depende de r é 2 r^3. A integral de 2 r^3 em relação a r é:
integral 2 r^3 , dr = 2 r^44 = r^42
Avaliando de r = 2 a r = 5:
5^42 - 2^42 = 6252 - 162 = 6092
Portanto, a integral agora fica:
6092 integral0^pi2 sintheta costheta , dtheta

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a theta. A integral de sintheta costheta pode ser simplificada usando a identidade trigonométrica:
sintheta costheta = 12 sin(2theta)
Então, a integral fica:
6092 cdot 12 integral0^pi2 sin(2theta) , dtheta = 6094 [ -12 cos(2theta) ]0^pi2
Avaliando de 0 a pi2:
-12 cos(2 cdot pi2) + 12 cos(0) = -12 cos(pi) + 12 cdot 1 = -12 (-1) + 12 = 12 + 12 = 1
Portanto, o resultado final da integral é:
6094

Resposta

O valor da integral é dfrac6094.

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