Suponha que A e B são dois conjuntos não vazios de números tais que x <= y para todo x in A e todo y in B.
(a) Prove que sup A <= y para todo y in B.
(b) Prove que sup A <= inf B.

Passo 1

O enunciado envolve a definição de supremo e ínfimo de conjuntos em R. Temos dois conjuntos não vazios A e B tais que x <= y para todo x in A e todo y in B. Vamos usar a propriedade de que o supremo é o menor dos limites superiores e o ínfimo é o maior dos limites inferiores.

Passo 2

Como sup A é o menor limite superior de A, vale que qualquer outro limite superior de A é maior ou igual a sup A.

Passo 3

Tomemos um elemento arbitrário yin B. Pela hipótese, para todo xin A temos x<= y, ou seja, y é um limite superior de A. Aplicando a propriedade do supremo, obtemos
sup A <= y

Passo 4

Da desigualdade sup A <= y para todo yin B segue que sup A é um limite inferior de B. Como inf B é o maior dos limites inferiores, concluímos que
sup A <= inf B

Resposta

a) sup A <= y para todo yin B. b) sup A <= inf B.

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