Suponha que
e
são dois conjuntos não vazios de números tais que
para todo
e todo
.
(a) Prove que
para todo
.
(b) Prove que
.
(a) Prove que
(b) Prove que
Passo 1
O enunciado envolve a definição de supremo e ínfimo de conjuntos em
. Temos dois conjuntos não vazios
e
tais que
para todo
e todo
. Vamos usar a propriedade de que o supremo é o menor dos limites superiores e o ínfimo é o maior dos limites inferiores.
Passo 2
Como
é o menor limite superior de
, vale que qualquer outro limite superior de
é maior ou igual a
.
Passo 3
Tomemos um elemento arbitrário
. Pela hipótese, para todo
temos
, ou seja,
é um limite superior de
. Aplicando a propriedade do supremo, obtemos
Passo 4
Da desigualdade
para todo
segue que
é um limite inferior de
. Como
é o maior dos limites inferiores, concluímos que
Resposta
a)
para todo
. b)
.