Avalie as seguintes integrais:
(a) integral cos x ln (sen x) d x;
(b) integral x^3 sen x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede duas integrais indefinidas:
(a) integral cos x ,lnl(senxr),dx
(b) integral x^3,senl(x^2r),dx
O conteúdo principal que vamos usar é a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u v - integral v,du
e o método de substituição.

Passo 2

Para a parte (a), identificamos
u = lnl(senxr), dv = cos x,dx
Então
du = ddxl[ln(senx)r],dx = cos xsenx,dx, v = integral cos x,dx = senx
Aplicando integração por partes:
integral cos x,ln(senx),dx = ln(senx),senx - integral senx;cos xsenx,dx

Passo 3

No segundo integral simplifica-se:
integral senx;cos xsenx,dx = integral cos x,dx = senx
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integral cos x,ln(senx),dx = senx,ln(senx) - senx + C = senxl(ln(senx)-1r) + C

Passo 4

Para a parte (b), fazemos a substituição
t = x^2, dt = 2x,dx ;Longrightarrow; x,dx = dt2
Observamos que x^3,dx = x^2cdot x,dx = tcdotdt2. Assim
integral x^3,sen(x^2),dx = 12integral t,sen(t),dt

Passo 5

Para integral t,sen(t),dt usamos partes:
u = t, dv = sen(t),dt ;Longrightarrow; du = dt, v = -cos t
Então
integral t,sen(t),dt = -tcos t - integrall(-cos tr),dt = -tcos t + integral cos t,dt = -tcos t + sent + C

Passo 6

Voltando a x, com t=x^2:
12integral t,sen(t),dt = 12l[-tcos t + sentr] + C = -x^2cos(x^2)2 + sen(x^2)2 + C

Resposta

(a) integral cos x,ln(senx),dx = senxl(ln(senx)-1r) + C
(b) integral x^3,sen(x^2),dx = -x^2cos(x^2)2 + sen(x^2)2 + C

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