Verifique as identidades
cos (x+y) cos (x-y)=cos ^2(x)-sen^2(y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade trigonométrica
cos(x+y)cos(x-y)=cos^2(x)-sin^2(y).
O que vamos precisar é das fórmulas de soma e diferença de cosseno e da identidade pitagórica.

Passo 2

Aplicar as fórmulas conhecidas:
cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y,
cos(x-y)=cos xcos y+sin xsin y

Passo 3

Multiplicar as duas expressões para expandir o produto:
cos(x+y)cos(x-y) =(cos xcos y-sin xsin y)(cos xcos y+sin xsin y) =cos^2xcos^2y-sin^2xsin^2y

Passo 4

Usar a identidade pitagórica cos^2y=1-sin^2y e fatorar:
cos^2xcos^2y-sin^2xsin^2y =cos^2x(1-sin^2y)-sin^2xsin^2y =cos^2x-sin^2y,(cos^2x+sin^2x) =cos^2x-sin^2y,
já que cos^2x+sin^2x=1.

Resposta

A identidade
cos(x+y)cos(x-y)=cos^2(x)-sin^2(y)
é verdadeira, pois ambos os lados coincidem após a simplificação.

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