Avalie os seguintes integrais de linha.
  1. integralC x y d s, onde C é o segmento entre os pontos (3,2) e (6,6)
  2. integralC(x^2+y^2) d s, onde C é a poligonal que une os pontos, em ordem, (-2,1),(-1,-1),(1,1) e (2,-1).
  3. integralC y^2 d x-x^2 d yx^2+y^2 onde C é o círculo plano de raio R centrado na origem.
  4. integralC y d x-x d yx^2+y^2 onde C é a curva sigma(t)=(R cos t, R sin t), 0 <= t <= a, com a e R constantes positivas.
  5. integralC x d x+y d y+(x+y-1) d z onde C é a curva em R^3 dada por sigma(t)=(R cos t, R sin t, a t / 2 pi), 0 <= t <= 2 pi, onde R e a são constantes.
  6. integralC F cdot d s, onde F(x, y, z)=sin x i+cos y j+x z k, e onde C é a curva parametrizada por sigma(t)= t^3 i-t^2 j+t k, 0 <= t <= 1.
  7. integralC F cdot d s, onde F(x, y, z)=z i+y j-x k, e onde C é a curva parametrizada por sigma(t)=t i+sin t j+cos t k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular uma série de integrais de linha, tanto escalares integralC f,ds como de 1-formas integralC P,dx+Q,dy e de campos vetoriais integralC Fcdot d r. O método geral é parametrizar cada curva sigma(t), obter dx,dy,dz ou ds=|sigma'(t)|,dt, substituir na integral e calcular.

Passo 2

Integral 1: integralCxy,ds, C segmento de (3,2) a (6,6).
Parametrização
sigma(t)=(3,2)+tl((6,6)-(3,2)r)=(3+3t,;2+4t), tin[0,1]
Então
ds=|sigma'(t)|,dt=raiz3^2+4^2,dt=5,dt, x(t)y(t)=(3+3t)(2+4t)=6+18t+12t^2
Logo
integral0^1(6+18t+12t^2),5,dt =integral0^1(30+90t+60t^2),dt =l[30t+45t^2+20t^3r]0^1 =30+45+20=95

Passo 3

Integral 2: integralC(x^2+y^2),ds, C poligonal unindo (-2,1)to(-1,-1)to(1,1)to(2,-1).
Cada segmento é linear; por ex. o 1º: sigma1(t)=(-2+t,,1-2t), tin[0,1], ds=raiz5,dt,
x^2+y^2=( -2+t)^2+(1-2t)^2=5t^2-8t+5,
integral0^1(5t^2-8t+5)raiz5,dt=8raiz53
O 2º de (-1,-1)to(1,1) tfrac4raiz23, o 3º igual ao 1º dá tfrac8raiz53. Somando,
integralC(x^2+y^2),ds =8raiz53+4raiz23+8raiz53 =16raiz5+4raiz23

Passo 4

Integral 3: integralCy^2,dx - x^2,dyx^2+y^2, C círculo de raio R centrado na origem, orientação positiva.
Parametrização padrão (x,y)=(Rcos t,Rsin t), tin[0,2pi]. Então
dx=-Rsin t,dt, dy=Rcos t,dt,
y^2,dx - x^2,dy =R^2sin^2t(-Rsin t,dt)-R^2cos^2t,(Rcos t,dt) =-R^3(sin^3t+cos^3t),dt,
dividindo por R^2 e integrando em 0<= t<=2pi, cada sin^3 e cos^3 dá zero em um período, logo o integral é 0.

Passo 5

Integral 4: integralCy,dx - x,dyx^2+y^2, Ccolonsigma(t)=(Rcos t,Rsin t), tin[0,a].
Usando a mesma parametrização,
y,dx - x,dy =Rsin t(-Rsin t,dt)-Rcos t(Rcos t,dt) =-R^2(sin^2t+cos^2t),dt=-R^2,dt,
dividindo por R^2 -1, logo
integral0^a(-1),dt=-a

Passo 6

Integral 5: integralC x,dx + y,dy + (x+y-1),dz, Ccolonsigma(t)=(Rcos t,Rsin t,tfraca2pit), tin[0,2pi].
Calcula-se
x,dx+y,dy =Rcos t(-Rsin t,dt)+Rsin t(Rcos t,dt)=0,
x+y-1=R(cos t+sin t)-1, dz=a2pi,dt,
então
integral0^2pi(R(cos t+sin t)-1)a2pi,dt =a2pil[R!!integral0^2pi(cos t+sin t),dt-!integral0^2pi1,dtr] =a2pi(0-2pi)=-a

Passo 7

Integral 6: integralC Fcdot d r, F=(sin x,cos y,xz), Ccolonsigma(t)=(t^3,-t^2,t), tin[0,1].
sigma'(t)=(3t^2,-2t,1), então
F(sigma(t))cdotsigma'(t) =3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^3cdot t =3t^2sin(t^3)-2tcos(t^2)+t^4
Integramos de 0 a 1:
integral0^1 3t^2sin(t^3),dt =integral0^1sin u,du;(u=t^3) =1-cos1,
integral0^1-2tcos(t^2),dt =-!integral0^1cos v,dv;(v=t^2) =-sin1,
integral0^1 t^4,dt=tfrac15
Somando,
1-cos1-sin1+tfrac15 =65-cos1-sin1

Passo 8

Integral 7: integralC Fcdot d r, F=(z,y,-x), Ccolonsigma(t)=(t,sin t,cos t), tin[0,pi].
sigma'(t)=(1,cos t,-sin t),
F(sigma(t))cdotsigma'(t) =cos t +sin tcos t +tsin t
Então
integral0^picos t,dt=0, integral0^pisin tcos t,dt=0,
integral0^pi tsin t,dt =l[-tcos t+sin tr]0^pi =pi
Logo o integral vale pi.

Resposta

  1. 95
  2. 16raiz5+4raiz23
  3. 0
  4. -a
  5. -a
  6. 65-cos1-sin1
  7. pi

Exercícios relacionados