Avalie os seguintes integrais de linha.
-
, onde
é o segmento entre os pontos
e
-
, onde
é a poligonal que une os pontos, em ordem,
e
.
-
onde
é o círculo plano de raio
centrado na origem.
-
onde
é a curva
, com a e
constantes positivas.
-
onde
é a curva em
dada por
, onde
e a são constantes.
-
, onde
, e onde
é a curva parametrizada por
.
-
, onde
, e onde
é a curva parametrizada por
,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular uma série de integrais de linha, tanto escalares
como de 1-formas
e de campos vetoriais
. O método geral é parametrizar cada curva
, obter
ou
, substituir na integral e calcular.
Passo 2
Integral 1:
,
segmento de
a
.
Parametrização
Parametrização
Então
Logo
Passo 3
Integral 2:
,
poligonal unindo
.
Cada segmento é linear; por ex. o 1º: ,
,
,
Cada segmento é linear; por ex. o 1º:
O 2º de
Passo 4
Integral 3:
,
círculo de raio
centrado na origem, orientação positiva.
Parametrização padrão ,
. Então
Parametrização padrão
dividindo por
e integrando em
, cada
e
dá zero em um período, logo o integral é
.
Passo 5
Integral 4:
,
,
.
Usando a mesma parametrização,
Usando a mesma parametrização,
dividindo por
dá
, logo
Passo 6
Integral 5:
,
,
.
Calcula-se
Calcula-se
então
Passo 7
Integral 6:
,
,
,
.
, então
Integramos de 0 a 1:
Somando,
Passo 8
Integral 7:
,
,
,
.
,
Então
Logo o integral vale
.