Desenhe os campos vetoriais:
  1. V(x, y)=y i+(1 / 2) j
  2. V(x, y)=(x-y) i+x j
  3. V(x, y, z)=-z i-z j+(x+y) k

Passo 1

O enunciado pede para desenhar três campos vetoriais:
1. V(x,y)=y,i+tfrac12,j no plano (x,y).
2. V(x,y)=(x-y),i+x,j no plano (x,y).
3. V(x,y,z)=-z,i-z,j+(x+y),k no espaço (x,y,z).
Para esboçar cada campo, vamos escolher pontos de uma malha (grade) de coordenadas, calcular o vetor em cada ponto e depois ligar esses valores com setas indicando direção e intensidade.

Passo 2

Campo V(x,y)=y,i+tfrac12,j
1. Escolhemos a grade de pontos (x,y)in(-1,-1),,(0,0),,(1,0),,(0,1),,(1,1).
2. Calculamos:
(x,y)=(-1,-1)impliesV=(-1,tfrac12) (x,y)=(0,0)impliesV=(0,tfrac12) (x,y)=(1,0)impliesV=(0,tfrac12) (x,y)=(0,1)impliesV=(1,tfrac12) (x,y)=(1,1)impliesV=(1,tfrac12)
3. No esboço, em todas as posições a componente vertical é constante para cima (tfrac12) e a horizontal cresce linearmente com y: para y<0 flechas apontam levemente à esquerda; para y>0, à direita.

Passo 3

Campo V(x,y)=(x-y),i+x,j
1. Usamos a grade (x,y)in(-1,0),,(0,-1),,(0,0),,(1,0),,(0,1).
2. Calculamos:
(x,y)=(-1,0)impliesV=(-1,-1) (x,y)=(0,-1)impliesV=(1,0) (x,y)=(0,0)impliesV=(0,0) (x,y)=(1,0)impliesV=(1,1) (x,y)=(0,1)impliesV=(-1,0)
3. No esboço, observa-se que em torno da origem há um ponto crítico e que as setas “sairão” mais para a direita quando x>y e para cima quando x>0. De modo geral, o campo tende a afastar-se da origem num padrão de sela.

Passo 4

Campo V(x,y,z)=-z,i-z,j+(x+y),k
1. Escolhemos vértices de um cubo simples (x,y,z)in0,1^3.
2. Calculamos alguns:
(0,0,0)impliesV=(0,0,0) (1,0,0)impliesV=(0,0,1) (0,1,0)impliesV=(0,0,1) (0,0,1)impliesV=(-1,-1,0) (1,1,1)impliesV=(-1,-1,2)
3. No esboço 3D, as componentes em i e j apontam sempre para -z (para dentro do plano xy quando z>0), e a componente em k cresce com x+y, dando setas para cima em “faces” onde x+y é maior.

Resposta

Para cada campo, o esboço é feito plotando as setas calculadas acima em cada ponto da malha.
1. V(x,y)=y,i+tfrac12,j: flechas subindo sempre meio-unidade e se inclinando para a direita se y>0 ou para a esquerda se y<0.
2. V(x,y)=(x-y),i+x,j: padrão de sela com ponto crítico na origem, saindo para direita quando x>y e para cima quando x>0.
3. V(x,y,z)=-z,i-z,j+(x+y),k: em cada fatia z=const, projeção no plano xy aponta para -z, enquanto a componente vertical é (x+y), crescendo para cima onde x+y é maior.

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