Verifique em cada caso se é possível utilizar a regra de L’hospital. Se sim, calcule o limite.
lim x 0(1x-1sin (x))

Passo 1

Resumindo, queremos calcular
limxto 0gl(1x-1sin(x)gr).
O conteúdo aqui é aplicação da regra de L’Hospital para formas indeterminadas, mas primeiro precisamos reescrever como quociente e verificar a forma indeterminada.

Passo 2

Escrevemos como um único quociente:
1x - 1sin(x) = sin(x) - xx,sin(x)
Avaliação direta em xto 0 dá numerador sin(0)-0=0 e denominador 0cdot0=0, ou seja, forma tfrac00. Portanto, podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador uma vez:
num'(x)=cos(x)-1
den'(x)=sin(x)+x,cos(x)
O limite passa a ser
limxto 0cos(x)-1sin(x)+x,cos(x)
Substituindo x=0 surge novamente tfrac00, pois cos(0)-1=0 e sin(0)+0=0.

Passo 4

Aplicamos L’Hospital pela segunda vez:
num''(x)=-sin(x)
den''(x)=2cos(x)-x,sin(x)
Fica
limxto 0-sin(x)2cos(x)-x,sin(x)
Agora, ao substituir x=0, obtemos tfrac02=0.

Resposta

0

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