Avalie os seguintes limites para a função definida por partes
f(x)=\left\{\begin{array}{r} x+1, \text { se } x \leq 1 \\\ x^{2}-5, \text { se } x>1 \end{array}\right.
a) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)
d) f(1)
e) f(3)
f) Esboce o gráfico da função.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1,\\ \text{se }x\le 1,\\[4pt] x^{2}-5,\\ \text{se }x>1, \end{array}\right.
e pede seis coisas:
a) \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x) (limite pela esquerda em x=1);
b) \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x) (limite pela direita em x=1);
c) \displaystyle \lim_{x\to 1} f(x) (limite bilateral em x=1);
d) f(1) (valor da função em x=1);
e) f(3) (valor da função em x=3);
f) esboçar o gráfico de f.
Informações relevantes dadas: a função usa a expressão x+1 para todos os x menores ou iguais a 1, e usa x^{2}-5 para todos os x maiores que 1. Não há outras condições.]

Passo 2

Conceitos úteis (bem mastigados):
  • O limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x) significa que olhamos nos valores de f(x) quando x se aproxima de 1 vindo de números menores que 1 (ou seja x<1). Para isso usamos a expressão da função que vale para x\le 1 porque essa expressão também descreve o comportamento para x com x<1.
  • O limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x) significa que olhamos quando x se aproxima de 1 vindo de números maiores que 1 (ou seja x>1). Para isso usamos a expressão que vale para x>1.
  • Se os dois limites laterais existirem e forem iguais, então o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) existe e vale esse valor comum. Se eles forem diferentes, o limite bilateral NÃO existe.
  • Para funções polinomiais (como x+1 e x^{2}-5) a substituição direta é válida para calcular limites porque polinômios são contínuos em todos os pontos: isso significa que \lim_{x\to a} p(x)=p(a) para qualquer polinômio p.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} f(x).
Para x<1 a função vale f(x)=x+1. Como x+1 é contínua, podemos substituir x=1 diretamente:
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{-}} (x+1)=1+1=2.
Raciocínio em palavras: ao nos aproximarmos de 1 por valores menores, f(x) se aproxima de 2.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} f(x).
Para x>1 a função vale f(x)=x^{2}-5. Como x^{2}-5 é contínua, substituímos x=1:
\lim_{x\to 1^{+}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} (x^{2}-5)=1^{2}-5=-4.
Raciocínio em palavras: ao nos aproximarmos de 1 por valores maiores, f(x) se aproxima de -4.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to1} f(x).
Vimos que
\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 1^{+}} f(x)=-4.
Como 2\neq -4, os limites laterais são diferentes, portanto o limite bilateral não existe:
\lim_{x\to 1} f(x)\\ \text{não existe.}ã

Passo 6

Cálculo de f(1).
A definição da função dá a expressão x+1 quando x\le 1. Como 1 está nessa parte, usamos f(1)=1+1:
f(1)=2.
Obs.: aqui é importante notar a diferença entre valor da função e limite: f(1)=2, mas a aproximação pela direita tende para -4, então há uma “descontinuidade do tipo salto” em x=1.

Passo 7

Cálculo de f(3).
Para x=3>1 usamos a segunda expressão x^{2}-5:
f(3)=3^{2}-5=9-5=4.

Passo 8

Instruções detalhadas para esboçar o gráfico (faça no papel seguindo estes passos; é simples e rápido):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Desenhe a reta y=x+1 apenas para x\le 1:
    • Alguns pontos para marcar: (0,1) porque 0+1=1; (-1,0) porque -1+1=0.
    • Em x=1 a reta dá o ponto (1,2). Como a definição inclui x=1 nessa parte ( x\le1), marque (1,2) com um ponto cheio (círculo preenchido).
    • Trace a reta para a esquerda até onde desejar.
  3. Desenhe a parábola y=x^{2}-5 apenas para x>1:
    • Em x=1 a parábola daria o ponto (1,-4), mas como a definição usa x>1 aqui, esse ponto não pertence à curva: marque (1,-4) com um círculo aberto (não preenchido).
    • Outros pontos úteis: x=2 (2,-1) porque 2^{2}-5=-1; x=3 (3,4) (já calculado).
    • Trace a curva da parábola para a direita a partir de x=1 (sem incluir o ponto (1,-4)).
  4. Observe o salto em x=1: a função tem valor 2 em x=1 (ponto cheio em (1,2)), mas ao aproximar por valores maiores de 1 os valores da função aproximam -4. Isso é uma descontinuidade por salto (jump).
  5. Finalize rotulando os pontos principais: (1,2) ponto cheio, (1,-4) círculo aberto, pontos (0,1), (2,-1), (3,4) para guiar o desenho.

Passo 9

Resumo curto e um empurrãozinho motivacional: você já tem tudo para escrever as respostas rápidas na prova — calcule limites laterais usando a parte correspondente da função, compare, veja se coincidem, e não esqueça de marcar círculos abertos/fechados no esboço. Vai dar certo, respira e partiu prova!

Resposta

a) 2
b) -4
c) \text{não existe}ã
d) 2
e) 4
f) Gráfico: reta y=x+1 para x\le 1 com ponto cheio em (1,2); parábola y=x^{2}-5 para x>1 com círculo aberto em (1,-4) e passando por (2,-1),(3,4).

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