Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
quando
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
-
Dados (peguei tudo do enunciado):
-
. -
. -
. - Ponto onde avaliar:
.
-
-
O enunciado pede:
- Calcular
em . - Calcular
em . - Calcular
em .
- Calcular
Passo 2
Explico a ideia da Regra da Cadeia que vou usar (passo a passo, sem pular etapas).
Quando
depende de
e
, e
e
dependem de
, a derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo
) é a soma das contribuições através de
e de
. Em notação:
Analogamente:
Aqui
é a derivada de
tratando
fixo, e
é a derivada de
tratando
fixos, etc.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
Regra: se
, então
.
Aplicando e usando a derivada do interno:
De forma idêntica,
Explicando com calma: multiplicou-se pelo derivado do interior (2r ou 2s), que cancela o
, sobrando
ou
no numerador.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
.
Lembrar:
quando
é tratado como constante;
;
.
De
:
De
:
Expliquei cada termo: por exemplo
vem de derivar
que dá
e multiplicar pelo fator
.
Passo 5
Juntar tudo com a Regra da Cadeia para obter fórmulas simbólicas finais.
Usando os resultados dos Passos 3 e 4:
Cada fórmula segue a forma
onde
e
são as derivadas de
pela variável em questão.
Passo 6
Agora avalio tudo no ponto
.
Primeiro calcule
e
no ponto (peguei
e
das fórmulas do enunciado):
Calcule o denominador
.
Também avalie as funções trigonométricas em
:
.
Use as fórmulas do Passo 5 e substitua:
- Para
:
- Para
:
- Para
: