Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas:
\mathrm{u}=\sqrt{\mathrm{r}^{2}+\mathrm{s}^{2}}, \mathrm{r}=\mathrm{y}+\mathrm{x} \cos \mathrm{t}, \mathrm{s}=\mathrm{x}+\mathrm{y} \operatorname{sen} \mathrm{t} ; \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial t} quando \mathrm{x}=1, \mathrm{y}=2, \mathrm{t}=0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados (peguei tudo do enunciado):
    • u=\sqrt{r^{2}+s^{2}}.
    • r=y+x\cos t.
    • s=x+y\sin t.
    • Ponto onde avaliar: x=1,\;y=2,\;t=0.
  • O enunciado pede:
    • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} em (x,y,t)=(1,2,0).
    • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y} em (x,y,t)=(1,2,0).
    • Calcular \dfrac{\partial u}{\partial t} em (x,y,t)=(1,2,0).

Passo 2

Explico a ideia da Regra da Cadeia que vou usar (passo a passo, sem pular etapas).
Quando u depende de r e s, e r e s dependem de (x,y,t), a derivada parcial de u em relação a uma variável (por exemplo x) é a soma das contribuições através de r e de s. Em notação:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}.
Analogamente:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial t}.
Aqui \dfrac{\partial u}{\partial r} é a derivada de u(r,s) tratando s fixo, e \dfrac{\partial r}{\partial x} é a derivada de r(x,y,t) tratando y,t fixos, etc.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial r} e \dfrac{\partial u}{\partial s} a partir de u=\sqrt{r^{2}+s^{2}}=(r^{2}+s^{2})^{1/2}.
Regra: se u=(\text{algo})^{1/2}, então \dfrac{d}{d(\text{algo})}(\text{algo})^{1/2}=\dfrac{1}{2}(\text{algo})^{-1/2}.
Aplicando e usando a derivada do interno:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{2}(r^{2}+s^{2})^{-1/2}\cdot 2r=\frac{r}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.
De forma idêntica,
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{1}{2}(r^{2}+s^{2})^{-1/2}\cdot 2s=\frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.
Explicando com calma: multiplicou-se pelo derivado do interior (2r ou 2s), que cancela o \tfrac{1}{2}, sobrando r ou s no numerador.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de r e s em relação a x,y,t.
Lembrar: \dfrac{d}{dx}\cos t=0 quando t é tratado como constante; \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t; \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.
De r=y+x\cos t:
\frac{\partial r}{\partial x}=\cos t,\qquad \frac{\partial r}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial r}{\partial t}=-x\sin t.
De s=x+y\sin t:
\frac{\partial s}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial s}{\partial y}=\sin t,\qquad \frac{\partial s}{\partial t}=y\cos t.
Expliquei cada termo: por exemplo \partial r/\partial t vem de derivar \cos t que dá -\sin t e multiplicar pelo fator x.

Passo 5

Juntar tudo com a Regra da Cadeia para obter fórmulas simbólicas finais.
Usando os resultados dos Passos 3 e 4:
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{r}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\cdot\cos t +\frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\cdot 1 =\frac{r\cos t+s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{r}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\cdot 1 +\frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\cdot\sin t =\frac{r+s\sin t}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.
\frac{\partial u}{\partial t} =\frac{r}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\cdot(-x\sin t) +\frac{s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}\cdot(y\cos t) =\frac{-xr\sin t+ys\cos t}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}}.
Cada fórmula segue a forma \dfrac{r\cdot r_{\text{var}}+s\cdot s_{\text{var}}}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} onde r_{\text{var}} e s_{\text{var}} são as derivadas de r,s pela variável em questão.

Passo 6

Agora avalio tudo no ponto x=1,\;y=2,\;t=0.
Primeiro calcule r e s no ponto (peguei r e s das fórmulas do enunciado):
r=y+x\cos t=2+1\cdot\cos 0=2+1\cdot 1=3,
s=x+y\sin t=1+2\cdot\sin 0=1+2\cdot 0=1.
Calcule o denominador \sqrt{r^{2}+s^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Também avalie as funções trigonométricas em t=0: \cos 0=1,\;\sin 0=0.
Use as fórmulas do Passo 5 e substitua:
  • Para \dfrac{\partial u}{\partial x}:
\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{(1,2,0)} =\frac{r\cos 0+s}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} =\frac{3\cdot 1+1}{\sqrt{10}} =\frac{4}{\sqrt{10}}.
  • Para \dfrac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{(1,2,0)} =\frac{r+s\sin 0}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} =\frac{3+1\cdot 0}{\sqrt{10}} =\frac{3}{\sqrt{10}}.
  • Para \dfrac{\partial u}{\partial t}:
\frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{(1,2,0)} =\frac{-x r\sin 0 + y s\cos 0}{\sqrt{r^{2}+s^{2}}} =\frac{-1\cdot 3\cdot 0 + 2\cdot 1\cdot 1}{\sqrt{10}} =\frac{2}{\sqrt{10}}.

Resposta

\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{4}{\sqrt{10}}
\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}
\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}

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