Avalie os seguintes limites.
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e o que temos: calcular
onde
e
são constantes reais (foram dadas no enunciado). O que pode dar problema são casos em que o denominador fica identicamente zero quando
está próximo de
; vou tratar esses casos separadamente mais adiante. A resolução principal assume que o denominador não é identicamente zero na vizinhança de
(isto é,
).
Passo 2
Vamos lembrar (e usar) duas expansões para pequenos argumentos — isso é básico e muito útil em limites quando
:
- Expansão da cosseno perto de zero:
Isso significa que os termos de ordem
ou maiores são negligenciáveis frente a
.
- Expansão do logaritmo para argumentos perto de
: se então
Aqui
será algo pequeno como
.
Vou aplicar essas duas ideias com
e
.
Passo 3
Primeiro, a expansão de
para
:
Agora aplico
usando
com
. Assim
De modo análogo, para
obtemos
Passo 4
Agora formamos a razão e simplificamos cancelando o fator comum
:
Ao fazer
, os termos
vão para zero, portanto a razão tende para a razão dos coeficientes líderes:
desde que o denominador não seja degenerado (ver comentários a seguir).
Passo 5
Tratamento dos casos especiais que eu mencionei no Passo 1:
-
Se
então a expansão acima é válida e o limite é . Observe que isso inclui o caso , que dá limite (pois ). -
Se
então para todo temos e portanto para todos os . Nesse caso a expressão não está definida em nenhum ponto próximo de (denominador identicamente zero), portanto não existe limite bem definido do quociente como escrito. (Se e ambos os numerador e denominador são identicamente zero, e a expressão também não está bem definida.)
Resposta
Se
então a expressão não está definida na vizinhança de
(logo, não há limite bem definido).