Avalie os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (\cos a x)}{\ln (\cos b x)}

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e o que temos: calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos a x)}{\ln(\cos b x)},
onde a e b são constantes reais (foram dadas no enunciado). O que pode dar problema são casos em que o denominador fica identicamente zero quando x está próximo de 0; vou tratar esses casos separadamente mais adiante. A resolução principal assume que o denominador não é identicamente zero na vizinhança de 0 (isto é, \;b\neq0\;).

Passo 2

Vamos lembrar (e usar) duas expansões para pequenos argumentos — isso é básico e muito útil em limites quando x\to0:
  1. Expansão da cosseno perto de zero:
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2} + O(t^{4}) \quad\text{quando } t\to0.
Isso significa que os termos de ordem t^{4} ou maiores são negligenciáveis frente a t^{2}.
  1. Expansão do logaritmo para argumentos perto de 1: se u\to0 então
\ln(1+u) = u + O(u^{2}).
Aqui u será algo pequeno como -\tfrac{t^{2}}{2}.
Vou aplicar essas duas ideias com t=a x e t=b x.

Passo 3

Primeiro, a expansão de \cos(a x) para x\to0:
\cos(a x) = 1 - \frac{(a x)^{2}}{2} + O(x^{4}) = 1 - \frac{a^{2}x^{2}}{2} + O(x^{4}).
Agora aplico \ln usando \ln(1+u)=u+O(u^{2}) com u=-\dfrac{a^{2}x^{2}}{2}+O(x^{4}). Assim
\ln(\cos(a x)) = -\frac{a^{2}x^{2}}{2} + O(x^{4}).
De modo análogo, para b obtemos
\ln(\cos(b x)) = -\frac{b^{2}x^{2}}{2} + O(x^{4}).

Passo 4

Agora formamos a razão e simplificamos cancelando o fator comum x^{2}:
\frac{\ln(\cos(a x))}{\ln(\cos(b x))} = \frac{-\dfrac{a^{2}x^{2}}{2} + O(x^{4})}{-\dfrac{b^{2}x^{2}}{2} + O(x^{4})} = \frac{\dfrac{a^{2}}{2} + O(x^{2})}{\dfrac{b^{2}}{2} + O(x^{2})}.
Ao fazer x\to0, os termos O(x^{2}) vão para zero, portanto a razão tende para a razão dos coeficientes líderes:
\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos(a x))}{\ln(\cos(b x))}=\frac{a^{2}/2}{b^{2}/2}=\frac{a^{2}}{b^{2}},
desde que o denominador não seja degenerado (ver comentários a seguir).

Passo 5

Tratamento dos casos especiais que eu mencionei no Passo 1:
  • Se b\neq0 então a expansão acima é válida e o limite é \dfrac{a^{2}}{b^{2}}. Observe que isso inclui o caso a=0, que dá limite 0 (pois a^{2}=0).
  • Se b=0 então para todo x temos \cos(bx)=\cos 0=1 e portanto \ln(\cos(bx))=0 para todos os x. Nesse caso a expressão \dfrac{\ln(\cos(a x))}{\ln(\cos(b x))} não está definida em nenhum ponto próximo de 0 (denominador identicamente zero), portanto não existe limite bem definido do quociente como escrito. (Se b=0 e a=0 ambos os numerador e denominador são identicamente zero, e a expressão também não está bem definida.)

Resposta

\dfrac{a^{2}}{b^{2}} se b\neq0.
Se b=0 então a expressão não está definida na vizinhança de 0 (logo, não há limite bem definido).

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