Encontre os seguintes limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{50 \pi}{\sqrt[3]{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é x^{2} multiplicada por \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right).
  • Não há indicação de que devemos considerar só x\to 0^{+} ou x\to 0^{-}, portanto é o limite bilateral x\to 0 no conjunto dos reais (note que \sqrt[3]{x} está bem definida para x negativo).
  • A função trigonométrica \operatorname{sen}(\cdot) oscila quando o argumento vai para infinito, mas tem amplitude limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Primeira observação simples e essencial: para qualquer número real t vale
-1 \le \operatorname{sen}(t) \le 1.
Aqui o argumento é t=\dfrac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}, mas a desigualdade acima vale independentemente de t. Portanto, substituindo,
-1 \le \operatorname{sen}\!\left(\frac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right) \le 1.

Passo 3

Agora multiplico essa desigualdade por x^{2}. Como x^{2}\ge 0 para todo x, a desigualdade mantém a direção ao multiplicar por x^{2}. Assim obtemos, para todo x,
-x^{2} \le x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right) \le x^{2}.
Isto mostra que a função que queremos estudar está “encapsulada” entre -x^{2} e x^{2}.

Passo 4

Explico o teorema que vou usar (de forma didática): se uma função f(x) satisfaz g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de um ponto, e se \lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L, então \lim_{x\to a} f(x)=L. Esse é o chamado teorema do confronto (ou “squeeze theorem”).
Aplicando ao nosso caso:
  • \lim_{x\to 0} -x^{2} = 0 porque \lim_{x\to 0} x^{2}=0 (polinômio contínuo).
  • \lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Como a função x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right) está entre esses dois limites que tendem a 0, o teorema do confronto garante que
\lim_{x\to 0} x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right)=0.
Observação alternativa (mais direta): usando valor absoluto,
\left|x^{2}\,\operatorname{sen}\!\left(\frac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right)\right|\le x^{2},
e como \lim_{x\to 0} x^{2}=0, segue que o limite do valor absoluto é 0, portanto o limite da função é 0.

Passo 5

Conclusão final: o fator oscilante \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{50\pi}{\sqrt[3]{x}}\right) é limitado entre -1 e 1, e o fator x^{2} tende a zero com velocidade suficiente para anular essas oscilações; por isso o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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