Avalie os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e hipóteses que vamos usar (pressupostos razoáveis para que a expressão faça sentido):
-
, e são números positivos, isto é, , , . Isso garante que , , estão bem definidos para real e que o argumento do logaritmo abaixo é positivo. - O que se pede é o valor numérico do limite quando
tende a zero.
Passo 2
Transformação útil e justificativa: sempre que aparecem potências com expoente que tende a zero do tipo
, é comum passar para o logaritmo natural porque a exponenciação é contínua. Escrevemos
Se existe o limite
então, pela continuidade da função exponencial, vale
Aqui
é o logaritmo natural. A ideia é, portanto, calcular
e depois aplicar
.
Passo 3
Verificações e forma indeterminada: defina
Observa-se que
logo
Ao calcular
temos uma forma
:
Podemos usar o Teorema de L’Hôpital: se numerador e denominador tendem a zero e as derivadas existem numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
) e o limite das derivadas existe, então
Calculemos as derivadas passo a passo.
Passo 4
Derivada do numerador: usando a regra da cadeia,
Agora
é a derivada de
. Lembrando que
, obtemos
Portanto
Passo 5
Avaliar o limite das derivadas em
: como
, ao substituir
na expressão obtida temos
Como
, pelo Teorema de L’Hôpital
Passo 6
Retornar ao limite original: já que
temos
Usando propriedades do exponencial e do logaritmo (
e
), isto é igual a
Interpretação: o limite é a média geométrica de
,
e
.
Passo 7
Observação alternativa (intuição): podia-se também usar a expansão em série para
quando
. Somando as três expansões e dividindo por
dá
. Tomando logaritmo e dividindo por
chega-se ao mesmo resultado mostrado acima.