Avalie os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}.
Informações e hipóteses que vamos usar (pressupostos razoáveis para que a expressão faça sentido):
  • a, b e c são números positivos, isto é, a>0, b>0, c>0. Isso garante que a^{x}, b^{x}, c^{x} estão bem definidos para x real e que o argumento do logaritmo abaixo é positivo.
  • O que se pede é o valor numérico do limite quando x tende a zero.

Passo 2

Transformação útil e justificativa: sempre que aparecem potências com expoente que tende a zero do tipo f(x)^{1/x}, é comum passar para o logaritmo natural porque a exponenciação é contínua. Escrevemos
L=\lim_{x\to 0}\left(\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}.
Se existe o limite
\ell=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\left(\dfrac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)}{x},
então, pela continuidade da função exponencial, vale
L=\exp(\ell).
Aqui \ln é o logaritmo natural. A ideia é, portanto, calcular \ell e depois aplicar \exp.

Passo 3

Verificações e forma indeterminada: defina
f(x)=\frac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}.
Observa-se que
f(0)=\frac{a^{0}+b^{0}+c^{0}}{3}=\frac{1+1+1}{3}=1,
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\ln(f(0))=\ln(1)=0.
Ao calcular \ell temos uma forma 0/0:
\ell=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(f(x))}{x}=\frac{0}{0}.
Podemos usar o Teorema de L’Hôpital: se numerador e denominador tendem a zero e as derivadas existem numa vizinhança de 0 (exceto possivelmente em 0) e o limite das derivadas existe, então
\ell=\lim_{x\to 0}\frac{\dfrac{d}{dx}\ln(f(x))}{\dfrac{d}{dx}x}.
Calculemos as derivadas passo a passo.

Passo 4

Derivada do numerador: usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{f'(x)}{f(x)}.
Agora f'(x) é a derivada de \dfrac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}. Lembrando que \dfrac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a, obtemos
f'(x)=\frac{a^{x}\ln a + b^{x}\ln b + c^{x}\ln c}{3}.
Portanto
\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{\dfrac{a^{x}\ln a + b^{x}\ln b + c^{x}\ln c}{3}}{\dfrac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}}=\frac{a^{x}\ln a + b^{x}\ln b + c^{x}\ln c}{a^{x}+b^{x}+c^{x}}.

Passo 5

Avaliar o limite das derivadas em x\to 0: como a^{0}=b^{0}=c^{0}=1, ao substituir x=0 na expressão obtida temos
\lim_{x\to 0}\frac{d}{dx}\ln(f(x))=\frac{1\cdot\ln a + 1\cdot\ln b + 1\cdot\ln c}{1+1+1}=\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}.
Como \dfrac{d}{dx}x=1, pelo Teorema de L’Hôpital
\ell=\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}.

Passo 6

Retornar ao limite original: já que
\ell=\lim_{x\to 0}\frac{\ln\!\left(\dfrac{a^{x}+b^{x}+c^{x}}{3}\right)}{x}=\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3},
temos
L=\exp(\ell)=\exp\!\left(\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3}\right).
Usando propriedades do exponencial e do logaritmo ( \exp(\ln u)=u e \exp(\alpha+\beta)=\exp(\alpha)\exp(\beta)), isto é igual a
L=\left(e^{\ln a}\,e^{\ln b}\,e^{\ln c}\right)^{\tfrac{1}{3}}=\left(abc\right)^{\tfrac{1}{3}}.
Interpretação: o limite é a média geométrica de a, b e c.

Passo 7

Observação alternativa (intuição): podia-se também usar a expansão em série para a^{x}=e^{x\ln a}=1+x\ln a+o(x) quando x\to 0. Somando as três expansões e dividindo por 3 1+x\dfrac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}+o(x). Tomando logaritmo e dividindo por x chega-se ao mesmo resultado mostrado acima.

Resposta

\displaystyle (abc)^{\tfrac{1}{3}}

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