Avalie os sistemas abaixo com relação à: linearidade, causalidade, invariância no tempo, memória e BIBO estabilidade.
y[n]=x[-n]

Passo 1

O enunciado define um sistema discreto por
y[n] = x[-n]
O conteúdo é teoria de sistemas (sinais e sistemas discretos). Vamos aplicar as definições de:
  • linearidade (princípio da superposição),
  • causalidade (dependência somente de entradas passadas ou presentes),
  • invariância no tempo (deslocamento na entrada gera deslocamento igual na saída),
  • memória (se depende de valores de x em instantes diferentes de n),
  • estabilidade BIBO (saída limitada para entrada limitada).

Passo 2

Testando linearidade: suponha duas entradas x1[n] e x2[n] com saídas y1[n]=x1[-n] e y2[n]=x2[-n]. Para uma combinação linear a,x1[n]+b,x2[n], a saída é
Ta,x1[n]+b,x2[n](n) = (a,x1+b,x2)[-n] = a,x1[-n] + b,x2[-n] = a,y1[n] + b,y2[n]
Logo, o sistema é linear.

Passo 3

Testando causalidade: para um instante n0, a saída é
y[n0] = x[-n0],
isto é, depende de x[m] com m=-n0. Se n0<0 então -n0>n0, ou seja, o sistema usa valores de entrada em instantes futuros de n0. Portanto, o sistema não é causal.

Passo 4

Testando invariância no tempo: seja xk[n]=x[n-k]. A saída para essa entrada é
Tx[n-k](n) = xk[-n] = x[-n-k]
Por outro lado, deslocar a saída original em k
y[n-k] = x[-(n-k)] = x[k-n]
Como em geral
,x[-n-k]neq x[k-n], o sistema é variant e no tempo.

Passo 5

Testando memória: o sistema produz y[n]=x[-n]. Para calcular y[n] em um dado n, precisa de x em -n, que nem sempre é igual a n. Logo, depende de amostras em instantes distintos de n e possui memória.

Passo 6

Testando estabilidade BIBO: se lvert x[n]rvert<= B<infty para todo n, então
lvert y[n]rvert = lvert x[-n]rvert <= B.
Portanto, o sistema é BIBO estável.

Resposta

Linearidade: linear
Causalidade: não causal
Invariância no tempo: variante no tempo
Memória: com memória
BIBO estabilidade: estável

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