Considere o sistema descrito por
y[n]=sumk=-infty^+infty x[k] e^-n+k u[n-k]
O sistemas é causal?
Dica: Calcule a resposta ao impulso do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y[n]=sumk=-infty^+inftyx[k],e^-n+k,u[n-k]
e pergunta se ele é causal. Para isso, vamos usar o conceito de resposta ao impulso, pois em sistemas LTI a causalidade é verificada olhando o suporte de h[n].

Passo 2

A resposta ao impulso h[n] é a saída quando aplicamos x[n]=de<a[n]. Substituindo x[k]=de<a[k] na expressão do sistema, obtemos
h[n]=y[n]|x[k]=de<a[k] =sumk=-infty^+inftyde<a[k],e^-n+k,u[n-k]

Passo 3

Usando a propriedade da delta de Kronecker, sumkde<a[k],f(k)=f(0), temos
h[n]=e^-n+0,u[n-0]=e^-n,u[n]

Passo 4

Como
h[n]=e^-n,u[n]
e u[n]=0 para n<0, segue que h[n]=0 para n<0. Isso significa que a saída em n não depende de entradas futuras ( x[k] com k>n). Portanto, o sistema é causal.

Resposta

O sistema é causal.

Exercícios relacionados