2- Avalie pelo teste da razão
Avalie a convergência da série sumn=1^infty n^nn!.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a convergência da série sumn=1^inftyn^nn! usando o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = n^nn!

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)!n^nn! = (n+1)^n+1n^ncdotn!(n+1)! = (n+1)^n+1n^ncdot1n+1 = (n+1)^nn^n = l(1+1nr)^n

Passo 4

Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinftyl(1+1nr)^n = e

Passo 5

O teste da razão diz que se esse limite for maior que 1, a série diverge. Como e>1, concluímos que a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyn^nn! diverge.

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