Mostre que as funções multivalentes abaixo verificam as identidades indicadas:
arccos z=-i log (z+(z^2-1)^1 / 2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função multivalente arccos z pode ser escrita em termos do logaritmo complexo e da raiz quadrada como
arccos z = -i ,log!l(z + l(z^2 - 1r)^1/2r)
O conteúdo principal é a inversão da função cosseno complexa usando sua expressão exponencial e, em seguida, a aplicação do logaritmo complexo.

Passo 2

Defina
w = arccos z,
ou seja
cos w = z
Como em análise complexa
cos w = e^i w + e^-i w2,
temos a equação
e^i w + e^-i w2 = z

Passo 3

Multiplicando por 2e^i w obtemos o polinômio em e^i w:
e^2i w - 2z,e^i w + 1 = 0
Resolvendo essa equação quadrática, vem
e^i w = z pm raizz^2 - 1
Aqui a raiz quadrada e o próprio logaritmo são multivalentes, de modo que todas as escolhas de ramo dão as várias folhas da arccos.

Passo 4

Tomando logaritmo em ambos os lados e isolando w resulta
i,w = log!l(z pm raizz^2 - 1r) Longrightarrow w = -,i,log!l(z pm raizz^2 - 1r)
Como arccos z deve abranger as duas escolhas de sinal da raiz (e também os múltiplos de 2pi i vindos do logaritmo), concluímos a identidade multivalente desejada.

Resposta

boxed arccos z = -,i ,log!l(z + (z^2 - 1)^1/2r)

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