Mostre que as funções multivalentes abaixo verificam as identidades indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função multivalente
pode ser escrita em termos do logaritmo complexo e da raiz quadrada como
O conteúdo principal é a inversão da função cosseno complexa usando sua expressão exponencial e, em seguida, a aplicação do logaritmo complexo.
Passo 2
Defina
ou seja
Como em análise complexa
temos a equação
Passo 3
Multiplicando por
obtemos o polinômio em
:
Resolvendo essa equação quadrática, vem
Aqui a raiz quadrada e o próprio logaritmo são multivalentes, de modo que todas as escolhas de ramo dão as várias folhas da
.
Passo 4
Tomando logaritmo em ambos os lados e isolando
resulta
Como
deve abranger as duas escolhas de sinal da raiz (e também os múltiplos de
vindos do logaritmo), concluímos a identidade multivalente desejada.