Questão 12
Mostre que o conjunto de soluções viáveis do PPL a seguir é um conjunto convexo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto das soluções viáveis do problema
é convexo. O que precisamos usar é a definição de conjunto convexo e o fato de que tanto um hiperplano definido por
quanto o ortantede
são conjuntos convexos, e que a interseção de conjuntos convexos é convexa.
Passo 2
Mostramos primeiro que o conjunto
é convexo. Tome quaisquer
e um escalar
com
. Então
logo
. Isso mostra que
é convexo (é um conjunto afim).
Passo 3
Agora mostramos que o ortante
é convexo. Sejam
e
. Como todas as componentes de
e
são não negativas, cada componente de
também é não negativa. Logo
. Assim
é convexo.
Passo 4
O conjunto de soluções viáveis é
Como
e
são convexos e a interseção de conjuntos convexos é convexa, concluímos que
é convexo.
Resposta
O conjunto viável do PPL, dado por
, é convexo porque é a interseção de dois conjuntos convexos.