Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras:
VI) Se A^2=0 (matriz nula), então, A=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado é este: “Seja uma matriz quadrada tal que (a matriz nula). Mostre se isso implica que .”
Conteúdo: Álgebra Linear, especificamente matrizes nilpotentes e multiplicação de matrizes.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é uma matriz nula.
  • Entender o que significa “nilpotente” (aqui, nilpotente de índice 2, pois ).
  • Saber multiplicar matrizes para checar um exemplo.

Passo 2

Teoria na mão:
Uma matriz é chamada de nilpotente se existir um inteiro tal que . No nosso caso, o índice é , ou seja, .
A afirmação pergunta se “toda matriz nilpotente de índice 2 tem que ser a matriz nula”. Será que isso é verdade sempre, ou tem alguma exceção?

Passo 3

Vamos dar um contraexemplo simples em dimensão 2:
Escolhe
A = 0 & 1 0 & 0
Multiplicando A^2 = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0cdot0 + 1cdot0 & 0cdot1 + 1cdot0 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot1 + 0cdot0 = 0 & 0 0 & 0 por ela mesma:
Então , mas claramente (pois tem o elemento “1” no canto superior direito).

Resposta

A afirmação é falsa. Nem toda matriz com é a matriz zero; há matrizes nilpotentes não nulas, como o exemplo acima.

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