Sejam A, B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Verifique quais das afirmações a seguir são verdadeiras:
VI)
Se
(matriz nula), então,
.
VI)
Passo 1
Beleza, o enunciado é este: “Seja
uma matriz quadrada tal que
(a matriz nula). Mostre se isso implica que
.”
Conteúdo: Álgebra Linear, especificamente matrizes nilpotentes e multiplicação de matrizes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Álgebra Linear, especificamente matrizes nilpotentes e multiplicação de matrizes.
O que vamos precisar:
- Entender o que é uma matriz nula.
- Entender o que significa “nilpotente” (aqui, nilpotente de índice 2, pois
). - Saber multiplicar matrizes para checar um exemplo.
Passo 2
Teoria na mão:
Uma matriz é chamada de nilpotente se existir um inteiro
tal que
. No nosso caso, o índice é
, ou seja,
.
A afirmação pergunta se “toda matriz nilpotente de índice 2 tem que ser a matriz nula”. Será que isso é verdade sempre, ou tem alguma exceção?
Uma matriz
A afirmação pergunta se “toda matriz nilpotente de índice 2 tem que ser a matriz nula”. Será que isso é verdade sempre, ou tem alguma exceção?
Passo 3
Vamos dar um contraexemplo simples em dimensão 2:
Escolhe
Escolhe
Multiplicando
por ela mesma:
Então
, mas claramente
(pois tem o elemento “1” no canto superior direito).
Resposta
A afirmação é falsa. Nem toda matriz com
é a matriz zero; há matrizes nilpotentes não nulas, como o exemplo acima.