Numa avenida existem 8 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de acusar a cor verde é de 23 e a de acusar a cor vermelha é de 13. Uma pessoa percorreu a pé toda essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos. Qual a probabilidade ab de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde?

Passo 1

Beleza, a questão diz que tem 8 semáforos, cada um fica verde com probabilidade e vermelho com , todos independentes. A gente quer saber a chance de só 1 deles dar verde. Isso é um problema clássico de Distribuição Binomial, onde contamos “sucessos” (aqui, luz verde) em tentativas independentes.

Passo 2

Regra da Binomial: quando você tem P(X=k);=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k, ensaios de Bernoulli (cada um só tem duas saídas, sucesso ou fracasso), a probabilidade de ter exatamente sucessos é
onde é o número de jeitos de escolher quais ensaios deram certo.

Passo 3

Aqui:
  • (os 8 semáforos)
  • (queremos só um verde)
  • (prob. de verde)
  • (prob. de vermelho)

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Coeficiente binomial:
binom81 = 8!1!,7! = 8
  1. Potências:
p^1 = l(tfrac23r)^1 = 23, (1-p)^7 = l(tfrac13r)^7 = 13^7
  1. Juntando tudo:
P(X=1) = 8 times 23 times 13^7 = 8 times 23^8 = 163^8
E como , fica .

Resposta

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