Numa avenida existem 8 semáforos. Por causa de uma pane no sistema, os semáforos ficaram sem controle durante uma hora, e fixaram suas luzes unicamente em verde ou vermelho. Os semáforos funcionam de forma independente; a probabilidade de acusar a cor verde é de
e a de acusar a cor vermelha é de
. Uma pessoa percorreu a pé toda essa avenida durante o período da pane, observando a cor da luz de cada um desses semáforos. Qual a probabilidade
de que esta pessoa tenha observado exatamente um sinal na cor verde?
Passo 1
Beleza, a questão diz que tem 8 semáforos, cada um fica verde com probabilidade
e vermelho com
, todos independentes. A gente quer saber a chance de só 1 deles dar verde. Isso é um problema clássico de Distribuição Binomial, onde contamos “sucessos” (aqui, luz verde) em
tentativas independentes.
Passo 2
Regra da Binomial: quando você tem
ensaios de Bernoulli (cada um só tem duas saídas, sucesso ou fracasso), a probabilidade de ter exatamente
sucessos é
onde
é o número de jeitos de escolher quais
ensaios deram certo.
Passo 3
Aqui:
-
(os 8 semáforos) -
(queremos só um verde) -
(prob. de verde) -
(prob. de vermelho)
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- Coeficiente binomial:
- Potências:
- Juntando tudo:
E como
, fica
.