Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Quantidade de números <br> escolhidos em uma cartela | Preço da Cartela |
---|---|
6 | 2,00 |
7 | 12,00 |
8 | 40,00 |
9 | 125,00 |
10 | 250,00 |
Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 4 cartelas com 9 números escolhidos
Bruno: 250 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
Arthur: 4 cartelas com 9 números escolhidos
Bruno: 250 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: é um jogo de apostas com 60 números, mas só escolhemos de 6 a 10 números por cartela. Depois sorteiam 6 números e você ganha se esses 6 estiverem todos na sua cartela. O enunciado dá o preço de cada tipo de cartela e diz quantas cada um dos 5 apostadores comprou (Arthur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo) com R$500 cada.
Conteúdo envolvido: combinatória (combinações) e probabilidade de eventos independentes. Vamos precisar:
Conteúdo envolvido: combinatória (combinações) e probabilidade de eventos independentes. Vamos precisar:
- Calcular quantas combinações de 6 números existem em 60:
. - Calcular quantas combinações favoráveis em cada cartela de tamanho
: . - Usar a ideia de “probabilidade de ao menos um sucesso em
tentativas” que é
Passo 2
Primeiro, a probabilidade de uma cartela de
números acertar os 6 sorteados é
Aqui
Passo 3
Vamos achar
e
para
:
E
Logo as probabilidades unitárias são
Passo 4
Para cada apostador, temos várias cartelas independentes. A chance de NÃO ganhar em uma cartela de probabilidade
é
. Então, com
cartelas idênticas, a probabilidade de ao menos uma vitória é
Se tiverem misturadas cartelas de tipos diferentes (como Caio e Douglas), usamos
Passo 5
Agora aproximamos numericamente (vamos usar notação científica para ficar mais simples):
p_6 ≃ 2,0×10⁻⁸
p_7 ≃ 1,40×10⁻⁷
p_8 ≃ 5,59×10⁻⁷
p_9 ≃ 1,68×10⁻⁶
p₁₀ ≃ 4,19×10⁻⁶
p_6 ≃ 2,0×10⁻⁸
p_7 ≃ 1,40×10⁻⁷
p_8 ≃ 5,59×10⁻⁷
p_9 ≃ 1,68×10⁻⁶
p₁₀ ≃ 4,19×10⁻⁶
– Arthur: 4 cartelas de 9 números:
– Bruno: 250 cartelas de 6 números:
– Caio: 12 cartelas de 8 e 10 de 6:
– Douglas: 41 cartelas de 7 e 4 de 6:
– Eduardo: 2 cartelas de 10 números:
Passo 6
Comparando todas essas probabilidades numéricas, vemos que a maior é de Eduardo e a segunda maior é de Caio.
Resposta
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são Eduardo e Caio.