Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Quantidade de números <br> escolhidos em uma cartela Preço da Cartela
6 2,00
7 12,00
8 40,00
9 125,00
10 250,00
Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 4 cartelas com 9 números escolhidos
Bruno: 250 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: é um jogo de apostas com 60 números, mas só escolhemos de 6 a 10 números por cartela. Depois sorteiam 6 números e você ganha se esses 6 estiverem todos na sua cartela. O enunciado dá o preço de cada tipo de cartela e diz quantas cada um dos 5 apostadores comprou (Arthur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo) com R$500 cada.
Conteúdo envolvido: combinatória (combinações) e probabilidade de eventos independentes. Vamos precisar:
  • Calcular quantas combinações de 6 números existem em 60: 1 - (1 - p)^N .
  • Calcular quantas combinações favoráveis em cada cartela de tamanho : .
  • Usar a ideia de “probabilidade de ao menos um sucesso em tentativas” que é

Passo 2

Primeiro, a probabilidade de uma cartela de pk ;=;C(k,6)C(60,6) números acertar os 6 sorteados é
C(n,r)=n!r!(n-r)!
Aqui

Passo 3

Vamos achar C(60,6)=50,063,860 e C(6,6)=1,; C(7,6)=7,; C(8,6)=28,; C(9,6)=84,; C(10,6)=210 para p6=150,063,860,; p7=750,063,860,; p8=2850,063,860,; p9=8450,063,860,; p10=21050,063,860 :
E
Logo as probabilidades unitárias são

Passo 4

Para cada apostador, temos várias cartelas independentes. A chance de NÃO ganhar em uma cartela de probabilidade 1 - (1-p)^N é 1 - prodi (1 - pki)^Ni . Então, com cartelas idênticas, a probabilidade de ao menos uma vitória é
Se tiverem misturadas cartelas de tipos diferentes (como Caio e Douglas), usamos

Passo 5

Agora aproximamos numericamente (vamos usar notação científica para ficar mais simples):
p_6 ≃ 2,0×10⁻⁸
p_7 ≃ 1,40×10⁻⁷
p_8 ≃ 5,59×10⁻⁷
p_9 ≃ 1,68×10⁻⁶
p₁₀ ≃ 4,19×10⁻⁶
– Arthur: 4 cartelas de 9 números:
PA = 1 - (1 - p9)^4 approx 6,72times10^-6
– Bruno: 250 cartelas de 6 números:
PB = 1 - (1 - p6)^250 approx 5,00times10^-6
– Caio: 12 cartelas de 8 e 10 de 6:
PC = 1 - (1 - p8)^12(1 - p6)^10 approx 6,91times10^-6
– Douglas: 41 cartelas de 7 e 4 de 6:
PD = 1 - (1 - p7)^41(1 - p6)^4 approx 5,81times10^-6
– Eduardo: 2 cartelas de 10 números:
PE = 1 - (1 - p10)^2 approx 8,39times10^-6

Passo 6

Comparando todas essas probabilidades numéricas, vemos que a maior é de Eduardo e a segunda maior é de Caio.

Resposta

Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são Eduardo e Caio.

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