Averigúe se cada uma das seguintes sucessōes é convergente ou divergente, e no caso de convergência, indique o respetivo limite.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se cada uma das oito sequências dadas é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos encontrar o limite dessa sequência. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de sequência convergente, sequência divergente e como calcular limites usando diferentes técnicas, como simplificação de expressões, propriedades de limites e comportamentos assintóticos.
Passo 2
1. Sequência: $ a_{n} = n(n - 1) $
Primeiro, vamos expandir a expressão:
Para encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito, observamos o termo de maior grau, que é $ n^2 $. Sabemos que:
Conclusão: A sequência é divergente.
Passo 3
2. Sequência: $ a_{n} = \frac{3 + 5n^{2}}{n + n^{2}} $
Vamos dividir numerador e denominador por $ n^{2} $:
À medida que $ n $ tende ao infinito:
- $ \frac{3}{n^{2}} $ tende a 0
- $ \frac{1}{n} $ tende a 0
Então, temos:
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 5.
Passo 4
3. Sequência: $ a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n + 1} $
Dividimos numerador e denominador por $ n $:
À medida que $ n $ tende ao infinito:
- $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ tende a 0
- $ \frac{1}{n} $ tende a 0
Portanto:
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.
Passo 5
4. Sequência: $ a_{n} = \frac{2{n}}{3{n+1}} $
Simplificamos a expressão:
Sabemos que $ \left( \frac{2}{3} \right)^{n} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito.
Assim:
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.
Passo 6
5. Sequência: $ a_{n} = \frac{(-1)^{n}(n + 2)}{n^{3} + 4} $
Observamos que $ (-1)^{n} $ alterna o sinal da sequência, mas vamos analisar o módulo:
Dividindo numerador e denominador por $ n^{3} $:
À medida que $ n $ tende ao infinito, os termos $ \frac{1}{n^{2}} $, $ \frac{2}{n^{3}} $ e $ \frac{4}{n^{3}} $ tendem a 0:
Como o módulo tende a 0, a sequência original também tende a 0.
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.
Passo 7
6. Sequência: $ a_{n} = \left(1 + \frac{3}{n + 2}\right)^{2n + 1} $
Vamos reescrever a expressão:
À medida que $ n $ tende ao infinito, $ \frac{n}{n + 2} $ tende a 1:
Sabemos que $ \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{n} $ tende a $ e^{k} $ quando $ n $ tende ao infinito.
Portanto:
Conclusão: A sequência é convergente, com limite $ e^{6} $.
Passo 8
7. Sequência: $ a_{n} = \ln(n + 1) - \ln(n) $
Utilizamos propriedades dos logaritmos:
Sabemos que $ \ln(1 + x) \approx x $ quando $ x $ é pequeno. Então, para $ n $ grande:
Como $ \frac{1}{n} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito:
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.
Passo 9
8. Sequência: $ a_{n} = \frac{\cos{2}(n)}{2{n}} $
Sabemos que $ \cos^{2}(n) $ está sempre entre 0 e 1:
E $ 2^{n} $ cresce exponencialmente. Então,
Como $ \frac{1}{2^{n}} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito, pelo Teorema do Aperto (Sandwich Theorem):
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.
Resposta
- $ a_{n} = n(n - 1) $ → Divergente.
- $ a_{n} = \frac{3 + 5n^{2}}{n + n^{2}} $ → Convergente, limite 5.
- $ a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n + 1} $ → Convergente, limite 0.
- $ a_{n} = \frac{2{n}}{3{n+1}} $ → Convergente, limite 0.
- $ a_{n} = \frac{(-1)^{n}(n + 2)}{n^{3} + 4} $ → Convergente, limite 0.
- $ a_{n} = \left(1 + \frac{3}{n + 2}\right)^{2n + 1} $ → Convergente, limite $ e^{6} $.
- $ a_{n} = \ln(n + 1) - \ln(n) $ → Convergente, limite 0.
- $ a_{n} = \frac{\cos{2}(n)}{2{n}} $ → Convergente, limite 0.