Averigúe se cada uma das seguintes sucessōes é convergente ou divergente, e no caso de convergência, indique o respetivo limite.
  1. an=n(n-1);
  2. an=3+5 n^2n+n^2;
  3. an=raiznn+1;
  4. an=2^n3^n+1;
  5. an=(-1)^n(n+2)n^3+4;
  6. an=(1+3n+2)^2 n+1;
  7. an=ln (n+1)-ln (n);
  8. an=cos ^2(n)2^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se cada uma das oito sequências dadas é convergente ou divergente. Se for convergente, também vamos encontrar o limite dessa sequência. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de sequência convergente, sequência divergente e como calcular limites usando diferentes técnicas, como simplificação de expressões, propriedades de limites e comportamentos assintóticos.

Passo 2

1. Sequência: $ a_{n} = n(n - 1) $
Primeiro, vamos expandir a expressão:
an = n(n - 1)
Para encontrar o limite quando $ n $ tende ao infinito, observamos o termo de maior grau, que é $ n^2 $. Sabemos que:
an = n^2 - n
Conclusão: A sequência é divergente.

Passo 3

2. Sequência: $ a_{n} = \frac{3 + 5n^{2}}{n + n^{2}} $
Vamos dividir numerador e denominador por $ n^{2} $:
an = 3 + 5n^2n + n^2
À medida que $ n $ tende ao infinito:
  • $ \frac{3}{n^{2}} $ tende a 0
  • $ \frac{1}{n} $ tende a 0
Então, temos:
n^2
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 5.

Passo 4

3. Sequência: $ a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n + 1} $
Dividimos numerador e denominador por $ n $:
an = raiznn + 1
À medida que $ n $ tende ao infinito:
  • $ \frac{1}{\sqrt{n}} $ tende a 0
  • $ \frac{1}{n} $ tende a 0
Portanto:
n
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.

Passo 5

4. Sequência: $ a_{n} = \frac{2{n}}{3{n+1}} $
Simplificamos a expressão:
an = 2^n3^n+1
Sabemos que $ \left( \frac{2}{3} \right)^{n} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito.
Assim:
an = 2^n3^n cdot 3 = 13 ( 23 )^n
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.

Passo 6

5. Sequência: $ a_{n} = \frac{(-1)^{n}(n + 2)}{n^{3} + 4} $
Observamos que $ (-1)^{n} $ alterna o sinal da sequência, mas vamos analisar o módulo:
an = (-1)^n(n + 2)n^3 + 4
Dividindo numerador e denominador por $ n^{3} $:
(-1)^n
À medida que $ n $ tende ao infinito, os termos $ \frac{1}{n^{2}} $, $ \frac{2}{n^{3}} $ e $ \frac{4}{n^{3}} $ tendem a 0:
|an| = n + 2n^3 + 4
Como o módulo tende a 0, a sequência original também tende a 0.
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.

Passo 7

6. Sequência: $ a_{n} = \left(1 + \frac{3}{n + 2}\right)^{2n + 1} $
Vamos reescrever a expressão:
an = (1 + 3n + 2)^2n + 1
À medida que $ n $ tende ao infinito, $ \frac{n}{n + 2} $ tende a 1:
an = (1 + 3n(nn + 2))^2n + 1
Sabemos que $ \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{n} $ tende a $ e^{k} $ quando $ n $ tende ao infinito.
Portanto:
n
Conclusão: A sequência é convergente, com limite $ e^{6} $.

Passo 8

7. Sequência: $ a_{n} = \ln(n + 1) - \ln(n) $
Utilizamos propriedades dos logaritmos:
an = ln(n + 1) - ln(n)
Sabemos que $ \ln(1 + x) \approx x $ quando $ x $ é pequeno. Então, para $ n $ grande:
an = ln(n + 1n) = ln(1 + 1n)
Como $ \frac{1}{n} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito:
ln(1 + x) approx x
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.

Passo 9

8. Sequência: $ a_{n} = \frac{\cos{2}(n)}{2{n}} $
Sabemos que $ \cos^{2}(n) $ está sempre entre 0 e 1:
an = cos^2(n)2^n
E $ 2^{n} $ cresce exponencialmente. Então,
cos^2(n)
Como $ \frac{1}{2^{n}} $ tende a 0 quando $ n $ tende ao infinito, pelo Teorema do Aperto (Sandwich Theorem):
0 <= cos^2(n) <= 1
Conclusão: A sequência é convergente, com limite 0.

Resposta

  1. $ a_{n} = n(n - 1) $ → Divergente.
  2. $ a_{n} = \frac{3 + 5n^{2}}{n + n^{2}} $ → Convergente, limite 5.
  3. $ a_{n} = \frac{\sqrt{n}}{n + 1} $ → Convergente, limite 0.
  4. $ a_{n} = \frac{2{n}}{3{n+1}} $ → Convergente, limite 0.
  5. $ a_{n} = \frac{(-1)^{n}(n + 2)}{n^{3} + 4} $ → Convergente, limite 0.
  6. $ a_{n} = \left(1 + \frac{3}{n + 2}\right)^{2n + 1} $ → Convergente, limite $ e^{6} $.
  7. $ a_{n} = \ln(n + 1) - \ln(n) $ → Convergente, limite 0.
  8. $ a_{n} = \frac{\cos{2}(n)}{2{n}} $ → Convergente, limite 0.

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