Considera a série geométrica sumn=0^+infty 2(-1)^n.
  1. Determina o termo geral da sucessão (Sn)n >= 0 das suas somas parciais.
  2. Que podes afirmar sobre a natureza da série?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma série geométrica: sumn=0^+infty 2(-1)^n. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar o termo geral das somatórias parciais dessa série, ou seja, Sn, que é a soma dos primeiros n+1 termos.
  2. Determinar a natureza da série, ou seja, se ela converge ou diverge.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular suas somas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
sumn=0^+infty a cdot r^n
onde:
  • a é o termo inicial,
  • r é a razão da série.
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
  • a = 2,
  • r = -1.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular a soma parcial Sn de uma série geométrica. A fórmula para Sn é:
Sn = a cdot 1 - r^n+11 - r
Essa fórmula nos dá a soma dos primeiros n+1 termos da série.

Passo 4

Aplicando os valores que identificamos ( a = 2 e r = -1) na fórmula da soma parcial, temos:
Sn = 2 cdot 1 - (-1)^n+11 - (-1)
Simplificando o denominador:
1 - (-1) = 1 + 1 = 2
Então,
Sn = 2 cdot 1 - (-1)^n+12 = 1 - (-1)^n+1

Passo 5

Portanto, o termo geral da sequência das somas parciais é:
Sn = 1 - (-1)^n+1

Passo 6

Agora, vamos analisar a natureza da série. Uma série geométrica converge se a razão r satisfaz |r| < 1. No nosso caso, r = -1, e |-1| = 1, que não é menor que 1.

Passo 7

Como |r| = 1, a série não converge. Na verdade, ela diverge, pois os termos da sequência das somas parciais não se aproximam de um valor específico quando n tende ao infinito.

Resposta

  1. O termo geral das somas parciais é Sn = 1 - (-1)^n+1.
  2. A série é divergente, ou seja, não converge.

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