Considera a série geométrica
.
- Determina o termo geral da sucessão
das suas somas parciais.
- Que podes afirmar sobre a natureza da série?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta uma série geométrica:
. Nosso objetivo é:
- Encontrar o termo geral das somatórias parciais dessa série, ou seja,
, que é a soma dos primeiros termos. - Determinar a natureza da série, ou seja, se ela converge ou diverge.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como calcular suas somas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
onde:
-
é o termo inicial, -
é a razão da série.
No nosso caso, comparando com a forma geral, temos:
-
, -
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular a soma parcial
de uma série geométrica. A fórmula para
é:
Essa fórmula nos dá a soma dos primeiros
termos da série.
Passo 4
Aplicando os valores que identificamos (
e
) na fórmula da soma parcial, temos:
Simplificando o denominador:
Então,
Passo 5
Portanto, o termo geral da sequência das somas parciais é:
Passo 6
Agora, vamos analisar a natureza da série. Uma série geométrica converge se a razão
satisfaz
. No nosso caso,
, e
, que não é menor que 1.
Passo 7
Como
, a série não converge. Na verdade, ela diverge, pois os termos da sequência das somas parciais não se aproximam de um valor específico quando
tende ao infinito.
Resposta
- O termo geral das somas parciais é
. - A série é divergente, ou seja, não converge.