Considere a equação diferencial
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma
para
fixo. Seja
uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluçōes quando
?
(a)
.
(b)
não está definido e
.
©
.
(d)
.
(e)
.
(f)
não está definido e
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Primeiro, a gente tem a equação diferencial
e a dica de que existe solução do tipo
. Vamos usar isso para obter uma “equação característica” em
.
Passo 2
Calcular as derivadas de
:
Substituindo tudo na equação original e cancelando o fator
(sempre positivo), obtemos
Reagrupando termos em potências de
surge
e daí vem a equação característica
Passo 3
Resolvendo
divide por 4:
com raízes
Isso dá as duas soluções complexas cujas combinações lineares produzem a solução real geral:
Passo 4
Agora, olhando o comportamento para
:
- Temos
exponencialmente, então - Por outro lado,
és simplesmente uma oscilação limitada (não converge a limite).
Passo 5
Comparando com as alternativas, só a (b) afirma que
não está definido (oscila) e
.
Todas as outras opções dão limites que não batem com essa análise. Portanto a resposta certa é a alternativa (b).
Todas as outras opções dão limites que não batem com essa análise. Portanto a resposta certa é a alternativa (b).
Resposta
(b)