Considere a equação diferencial
t d^2 yd t^2+(-1+4 t^2) d yd t+20 t^3 y=0, para t>0
Sabemos que a equação diferencial admite solução da forma y(t)=e^r t^2 para r fixo. Seja y(t) uma solução qualquer da equação diferencial. Qual das alternativas é verdadeira, com relação ao comportamento das soluçōes quando t +infty?
(a) lim t +infty t^-2 e^-1+t^2 y(t)=y^prime(1)2+y(1).
(b) lim t +infty e^t^2 y(t) não está definido e lim t +infty y(t)=0.
© lim t +infty t^-3 e^-1+t^2 y(t)=y^prime(1)2+y(1).
(d) lim t +infty e^1-t^2 y(t)=y^prime(1)8+3 y(1)4.
(e) lim t +infty y(t)=y^prime(1)8+3 y(1)4.
(f) lim t +infty e^2 t^2 y(t) não está definido e lim t +infty e^t^2 y(t)=0.

Passo 1

Primeiro, a gente tem a equação diferencial
t,y''(t)+(-1+4t^2),y'(t)+20t^3,y(t)=0,
e a dica de que existe solução do tipo y(t)=e^r t^2. Vamos usar isso para obter uma “equação característica” em r.

Passo 2

Calcular as derivadas de y(t)=e^rt^2:
y'(t)=2r t,e^r t^2,
y''(t)=(2r+4r^2t^2),e^r t^2
Substituindo tudo na equação original e cancelando o fator e^rt^2 (sempre positivo), obtemos
t(2r+4r^2t^2)+(-1+4t^2)(2rt)+20t^3=0
Reagrupando termos em potências de t surge
t^3(4r^2+8r+20)=0
e daí vem a equação característica
4r^2+8r+20=0

Passo 3

Resolvendo
4r^2+8r+20=0
divide por 4:
r^2+2r+5=0
com raízes
r=-1pm2i
Isso dá as duas soluções complexas cujas combinações lineares produzem a solução real geral:
y(t)=e^-t^2l(Acos(2t^2)+Bsin(2t^2)r)

Passo 4

Agora, olhando o comportamento para tto+infty:
  • Temos e^-t^2to0 exponencialmente, então y(t)=e^-t^2(Acos2t^2+Bsin2t^2)longrightarrow0
  • Por outro lado, e^t^2y(t)=Acos2t^2+Bsin2t^2
és simplesmente uma oscilação limitada (não converge a limite).

Passo 5

Comparando com as alternativas, só a (b) afirma que
limttoinftye^t^2y(t) não está definido (oscila) e
limttoinftyy(t)=0.
Todas as outras opções dão limites que não batem com essa análise. Portanto a resposta certa é a alternativa (b).

Resposta

(b)

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