Um avião se aproxima em linha reta de outro avião. A velocidade do primeiro, em relação à Terra, possui módulo igual a u1. A velocidade do segundo, em relação à Terra, possui módulo igual a u2. No avião que possui velocidade u1 existe um aparelho de radar que emite ondas com frequência f. Escreva a expressão aproximada da frequência f^prime das ondas de radar que atingem um observador situado no outro avião.

Passo 1

O enunciado pede a frequência ,f', que um observador num segundo avião percebe das ondas de radar emitidas por um primeiro avião que se aproxima em linha reta. As velocidades, relativas à Terra, são ,u1 para o emissor e ,u2 para o receptor. O conteúdo é o efeito Doppler em ondas eletromagnéticas, podendo usar a fórmula não‐relativística até primeira ordem em ,u1/c e ,u2/c, com c sendo a velocidade da luz.

Passo 2

A fórmula exata do efeito Doppler para fonte em movimento (velocidade ,u1 contra o sentido de emissão) e receptor também em movimento (velocidade ,u2 em direção à fonte) é
f' = c + u2,c - u1,;f

Passo 3

Como normalmente ,u1ll c e ,u2ll c, escrevemos
f' approx f,1 + u2c1 - u1c
Expandindo em série de Taylor até termos lineares em ,u1c e ,u2c, temos
1 + u2c1 - u1c approx l(1 + tfracu2cr),l(1 + tfracu1cr) approx 1 + u1 + u2c,
pois desprezamos o termo de segunda ordem ,tfracu1u2c^2.

Passo 4

Substituindo na fórmula, obtemos a expressão aproximada da frequência percebida:
f' approx f;gl(1 + u1 + u2cgr)

Resposta

f' approx fl(1 + tfracu1 + u2cr)

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