Um avião deixa um aeroporto e mais tarde encontra-se a 215 km de distância deste aeroporto, em uma direção que faz 22 graus para leste em relação à direção sul -> norte, ou seja, 22 graus na direção nordeste. Considerando os versores unitários i e j nas direções/sentidos oeste -> leste e sul -> norte, respectivamente, a posição r do avião na representação analítica é (os ângulos estão em graus):
Escolha uma opção:
a. \quad \mathbf{r}=(215 \mathrm{~km}) \mathbf{i}+(215 \mathrm{~km}) \mathbf{j}
b. \mathbf{r}=(215 \mathrm{~km})(\cos 22) \mathbf{i}+(215 \mathrm{~km})(\operatorname{sen} 22) j
c. \mathbf{r}=(215 \mathrm{~km})(\cos 68) \mathbf{i}+(215 \mathrm{~km})(\operatorname{sen} 68) j
d. \quad \mathbf{r}=(\cos 68) \mathbf{i}+(\operatorname{sen} 68) \mathbf{j}
e. \mathbf{r}=(215 \mathrm{~km})(\operatorname{sen} 68) \mathbf{i}+(215 \mathrm{~km})(\cos 68) j

Passo 1

O enunciado diz que o avião está a uma distância de 215 km do aeroporto, em uma direção que é 22^\circ para leste a partir da direção sul→norte. Os versores unitários são \mathbf{i} (oeste→leste) e \mathbf{j} (sul→norte). Vamos escrever o vetor posição \mathbf{r} em componentes cartesianas nesse sistema.

Passo 2

Na convenção padrão, o ângulo \theta de um vetor é medido a partir do eixo \mathbf{i} (leste) no sentido anti-horário. Aqui, a direção dada é 22^\circ a leste de norte, ou seja, 22^\circ abaixo do eixo \mathbf{j}. Assim,
\theta = 90^\circ - 22^\circ = 68^\circ
é o ângulo que o vetor forma com o eixo \mathbf{i}.

Passo 3

Para um vetor de módulo r e ângulo \theta a partir do eixo \mathbf{i}, temos
\mathbf{r} = r\cos\theta\,\mathbf{i} \;+\; r\sin\theta\,\mathbf{j}.
Substituindo r = 215\,\text{km} e \theta = 68^\circ, obtemos
\mathbf{r} = 215\,\text{km}\,\bigl(\cos 68^\circ\,\mathbf{i} + \sin 68^\circ\,\mathbf{j}\bigr).

Passo 4

A expressão \mathbf{r} = 215\,\text{km}(\cos 68^\circ\,\mathbf{i} + \sin 68^\circ\,\mathbf{j}) coincide exatamente com a opção (c).

Resposta

(c)

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