Uma roda-gigante com um raio de 8,0 \mathrm{~m} descreve 1 revolução a cada 10 s . Quando uma criança está no alto da roda, a um diâmetro de distância do solo, deixa cair uma bola. A que distância horizontal, do ponto de onde foi liberada, a bola atinge o solo?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 8,0 \mathrm{~m}
\bigcirc b. 9,1 \mathrm{~m}
\bigcirc c. 1,0 \mathrm{~m}
\bigcirc d. 16 m
\bigcirc e. 0 m

Passo 1

O enunciado pede: “A que distância horizontal, do ponto de onde foi liberada, a bola atinge o solo?” Dados fornecidos e relevantes:
  • Raio da roda: R=8{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Período de rotação: T=10\\ \mathrm{s} (uma revolução a cada 10\\ \mathrm{s}).
  • A criança está no alto da roda, a uma distância igual ao diâmetro do solo — ou seja, a altura de liberação acima do solo é o diâmetro da roda.
  • A bola é largada (solta) quando a criança está no topo da roda.
  • Precisamos achar a distância horizontal entre o ponto de liberação e o ponto de impacto no solo.
Informações extraídas do enunciado:
  • Altura de liberação: h=2R.
  • Ao ser solta no topo, a bola tem a velocidade instantânea do movimento circular naquele ponto (velocidade tangencial), que no topo é puramente horizontal. Não há velocidade vertical inicial (se a bola é apenas solta, não lançada para cima/baixo).

Passo 2

Calcular a velocidade angular da roda \omega. A relação entre período e velocidade angular é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=10\\ \mathrm{s}:
\omega=\frac{2\pi}{10}=\frac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Calcular a velocidade tangencial (linear) da bola no instante da liberação. A relação é
v_{\text{tan}}=\omega R.
Substituindo \omega=\frac{\pi}{5} e R=8{,}0\\ \mathrm{m}:
v_{\text{tan}}=\frac{\pi}{5}\cdot 8=\frac{8\pi}{5}\\ \mathrm{m/s}\approx 1{,}6\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}03\\ \mathrm{m/s}.
Observação didática: \omega está em rad/s e R em metros, então o produto dá m/s, que é a unidade correta para velocidade linear.

Passo 4

Determinar as componentes iniciais da velocidade da bola no instante da soltura.
  • No topo da roda, a direção tangencial é horizontal, portanto a componente vertical inicial é v_{y0}=0.
  • A componente horizontal inicial é v_{x0}=v_{\text{tan}}. Ou seja,
v_{x0}=\frac{8\pi}{5}\\ \mathrm{m/s}\quad\text{e}\quad v_{y0}=0.

Passo 5

Calcular o tempo de queda t até o solo usando o movimento vertical. A equação do deslocamento vertical (tomando para baixo positivo e assumindo v_{y0}=0) é
h=\frac{1}{2}gt^{2},
onde g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}) e h é a altura inicial. Aqui h=2R=16{,}0\\ \mathrm{m}. Então
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot 16{,}0}{9{,}8}}=\sqrt{\frac{32}{9{,}8}}.
Calculando numericamente:
t\approx \sqrt{3{,}265306} \approx 1{,}81\\ \mathrm{s}.
Explicação didática: essa fórmula vem de rearranjar y=\tfrac12gt^2 para t=\sqrt{2y/g}. Em problemas de queda livre, o tempo depende só da altura e de g, não da velocidade horizontal — axioma importante para projéteis.

Passo 6

Calcular a distância horizontal percorrida durante o tempo de queda. Como não há aceleração horizontal (desprezando resistência do ar), o deslocamento horizontal é dado por
x=v_{x0}\,t.
Substituindo v_{x0}=\dfrac{8\pi}{5}\\ \mathrm{m/s} e t\approx 1{,}81\\ \mathrm{s}:
x=\frac{8\pi}{5}\cdot 1{,}81\\ \mathrm{m}\approx 5{,}03\cdot 1{,}81\\ \mathrm{m}\approx 9{,}09\\ \mathrm{m}.
Arredondando com duas casas significativas compatíveis com os dados, x\approx 9{,}1\\ \mathrm{m}.

Resposta

b. 9,1\\ \mathrm{m}

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