1. Um avião a jato em decolagem pode produzir um som de intensidade 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} a 30 m de distância. Você, contudo, prefere o som tranquilo de uma conversa normal, que é 1 \mu \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Suponha que o avião se comporte como uma fonte sonora pontual. a) Qual a mínima distância do aeroporto que a sua casa precisa ter para que você possa conversar com a sua paz de espirito? b) Qual é a intensidade sonora que chega a sua amiga se ela mora duas vezes mais longe da pista do que você? c) Que potência sonora o jato produz ao decolar?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (peguei os números direto do texto):
  • Intensidade sonora medida a 30\\ \mathrm{m} do avião: I_{1}=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Intensidade desejada para uma conversa tranquila: I_{\text{desejada}}=1\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • O avião é tratado como uma fonte pontual (logo vale a lei do inverso do quadrado).
    O enunciado pede:
    (a) a mínima distância da pista para que a intensidade chegue em, no máximo, I_{\text{desejada}};
    (b) a intensidade que chega à amiga se ela mora duas vezes mais longe do que você;
    (c) a potência sonora (em watts) que o jato emite ao decolar.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicando devagar porque isso cai direto na prova):
  • Intensidade sonora I é a potência sonora que atravessa, por unidade de área, uma superfície perpendicular à propagação do som. Unidade: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
  • Para uma fonte pontual que emite potência P isotropicamente, a potência P se distribui por uma esfera de área 4\pi r^{2} a distância r. Logo a intensidade a distância r é
I=\dfrac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui:
  • I é a intensidade em \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
  • P é a potência acústica emitida pela fonte em \mathrm{W},
  • r é a distância em \mathrm{m},
  • 4\pi r^{2} é a área da esfera de raio r.
    Essa fórmula vem da ideia simples: potência total dividida pela área pela qual ela se espalha.

Passo 3

Primeiro vamos determinar a potência sonora P do jato (isso responde a parte (c) e também é útil para (a) e (b)).
Usamos a medida conhecida: I_{1}=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2} a r_{1}=30\\ \mathrm{m}. Da fórmula,
P = I_{1}\cdot 4\pi r_{1}^{2}.
Substituindo:
P = 10 \cdot 4\pi \cdot 30^{2}.
Calcule passo a passo:
  • 30^{2}=900.
  • 4\pi\cdot900=3600\pi.
  • Multiplicando por 10: P=36000\pi\\ \mathrm{W}.
    Agora um valor numérico aproximado usando \pi\approx3,1416:
P \approx 36000\cdot 3,1416 \approx 113097,3\\ \mathrm{W}.
Portanto a potência sonora do jato é muito grande: P=36000\pi\\ \mathrm{W}\approx1,13\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Agora a parte (a): encontrar a mínima distância r_{\min} tal que a intensidade seja \leq I_{\text{desejada}}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Usamos a mesma fórmula e isolamos r:
r=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I}}.
Substituindo P e I=I_{\text{desejada}}:
r_{\min}=\sqrt{\dfrac{36000\pi}{4\pi\cdot 1\times10^{-6}}}.
Simplificando \pi e os fatores:
r_{\min}=\sqrt{\dfrac{36000}{4\cdot 1\times10^{-6}}}=\sqrt{\dfrac{9000}{1\times10^{-6}}}=\sqrt{9{,}0\times10^{9}}.
Calculando a raiz:
r_{\min}= \sqrt{9{,}0\times10^{9}}=3{,}0\times10^{4{,}5}=9{,}4868\times10^{4}\\ \mathrm{m}
(ou, de forma mais prática, pode-se usar a razão direta entre intensidades:
r_{\min}=r_{1}\sqrt{\dfrac{I_{1}}{I_{\text{desejada}}}}=30\sqrt{\dfrac{10}{1\times10^{-6}}}=30\sqrt{1\times10^{7}}\approx9{,}4868\times10^{4}\\ \mathrm{m}). \) Convertendo para quilômetros: \[ r_{\min}\approx94{,}9\\ \mathrm{km}.
Comentário encorajador: eu sei, dá pra ficar chocado — o som do jato é intenso mesmo!]

Passo 5

Parte (b): se a sua amiga mora duas vezes mais longe da pista do que você, a distância dela é r_{\text{amiga}}=2r_{\min}.
Intensidade decai com 1/r^{2}, portanto
I_{\text{amiga}}= \dfrac{P}{4\pi r_{\text{amiga}}^{2}} = \dfrac{P}{4\pi (2r_{\min})^{2}} = \dfrac{P}{4\pi r_{\min}^{2}}\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{I_{\text{você}}}{4}.ê
Como I_{\text{você}}=I_{\text{desejada}}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}ê, temos
I_{\text{amiga}}=\dfrac{1\times10^{-6}}{4}=2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Em unidades de microWatt por metro quadrado:
I_{\text{amiga}}=0{,}25\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 6

Resumo rápido dos resultados (já calculados nos passos anteriores):
  • Potência do jato: P=36000\pi\\ \mathrm{W}\approx1{,}13\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
  • Distância mínima para ter intensidade de conversa: r_{\min}\approx9{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{m}\approx94{,}9\\ \mathrm{km}.
  • Intensidade na casa da amiga (duas vezes mais longe): I_{\text{amiga}}=2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=0{,}25\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Resposta

(a) r_{\min}\approx9{,}49\times10^{4}\\ \mathrm{m}\approx94{,}9\\ \mathrm{km}
(b) I_{\text{amiga}}=2{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}=0{,}25\\ \mu\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}
(c) P=36000\pi\\ \mathrm{W}\approx1{,}13\times10^{5}\\ \mathrm{W}

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