O fio de um piano de massa igual a 3,0 \mathrm{~g} e comprimento de 80 cm é submetido a uma tensão de 25 N . Uma onda com frequência de 120 Hz e amplitude igual a 1,6 \mathrm{~mm} desloca-se no fio. a) ache a potência média transportada pela onda. b) O que ocorrerá com a potência média se a amplitude da onda for reduzia à metade?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
massa do fio: m=0,003\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado).
comprimento do fio: L=0,80\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
tensão no fio: T=25\\ \mathrm{N} (peguei do enunciado).
frequência da onda: f=120\\ \mathrm{Hz} (peguei do enunciado).
amplitude da onda: A=1,6\\ \mathrm{mm}=0,0016\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
O enunciado pede:
a) achar a potência média transportada pela onda no fio;
b) dizer o que ocorre com a potência média se a amplitude for reduzida à metade (ou seja, A\to A/2).
Passo 2
Conceito e fórmula útil (vamos derivar devagar para entender): para uma onda transversal harmônica que se propaga numa corda, a deflexão pode ser escrita por
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
A é a amplitude (m);
k é o número de onda (rad/m);
\omega é a frequência angular (rad/s).
A potência instantânea transmitida ao longo da corda num ponto x é dada pelo produto da força transversa e da velocidade transversa naquele ponto. Com tensão T na corda, a força transversa aproximada é F_T \approx -T\,\partial y/\partial x e a velocidade transversa é \partial y/\partial t. Assim a potência instantânea é
Como a velocidade numa corda é v=\sqrt{T/\mu} (onde \mu é a densidade linear de massa da corda), temos T/v=\mu v. Substituindo:
\overline{P}=\frac{1}{2}\mu v \omega^2 A^2.
Resumo: para calcular a potência média precisamos de \mu, v, \omega e A. A dependência importante: \overline{P}\propto A^2 (potência média cresce com o quadrado da amplitude).
a) 0,223\\ \mathrm{W}
b) A potência média reduz para um quarto do valor anterior: 0,0558\\ \mathrm{W} (ou seja, \overline{P}_{\text{novo}}=\overline{P}/4).