1. O fio de um piano de massa igual a 3,0 \mathrm{~g} e comprimento de 80 cm é submetido a uma tensão de 25 N . Uma onda com frequência de 120 Hz e amplitude igual a 1,6 \mathrm{~mm} desloca-se no fio. a) ache a potência média transportada pela onda. b) O que ocorrerá com a potência média se a amplitude da onda for reduzia à metade?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa do fio: m=0,003\\ \mathrm{kg} (peguei do enunciado).
  • comprimento do fio: L=0,80\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • tensão no fio: T=25\\ \mathrm{N} (peguei do enunciado).
  • frequência da onda: f=120\\ \mathrm{Hz} (peguei do enunciado).
  • amplitude da onda: A=1,6\\ \mathrm{mm}=0,0016\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
O enunciado pede:
a) achar a potência média transportada pela onda no fio;
b) dizer o que ocorre com a potência média se a amplitude for reduzida à metade (ou seja, A\to A/2).

Passo 2

Conceito e fórmula útil (vamos derivar devagar para entender): para uma onda transversal harmônica que se propaga numa corda, a deflexão pode ser escrita por
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (m);
  • k é o número de onda (rad/m);
  • \omega é a frequência angular (rad/s).
A potência instantânea transmitida ao longo da corda num ponto x é dada pelo produto da força transversa e da velocidade transversa naquele ponto. Com tensão T na corda, a força transversa aproximada é F_T \approx -T\,\partial y/\partial x e a velocidade transversa é \partial y/\partial t. Assim a potência instantânea é
P(x,t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}.
Calculemos as derivadas para y(x,t)=A\sin(kx-\omega t):
\frac{\partial y}{\partial x}=A k\cos(kx-\omega t), \qquad \frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t).
Substituindo em P(x,t):
P(x,t)=T\;A^2 k\omega\cos^2(kx-\omega t).
A potência média no tempo sobre um período é a média de \cos^2, cuja média é 1/2. Assim a potência média é
\overline{P}=\frac{1}{2}T k\omega A^2.
Podemos escrever isso em formas alternativas úteis. Usando k=\omega/v, onde v é a velocidade da onda, obtemos
\overline{P}=\frac{1}{2}T\frac{\omega}{v}\omega A^2=\frac{1}{2}\frac{T}{v}\omega^2 A^2.
Como a velocidade numa corda é v=\sqrt{T/\mu} (onde \mu é a densidade linear de massa da corda), temos T/v=\mu v. Substituindo:
\overline{P}=\frac{1}{2}\mu v \omega^2 A^2.
Resumo: para calcular a potência média precisamos de \mu, v, \omega e A. A dependência importante: \overline{P}\propto A^2 (potência média cresce com o quadrado da amplitude).

Passo 3

Calcular a densidade linear de massa \mu:
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0,003\\ \mathrm{kg}}{0,80\\ \mathrm{m}}=0,00375\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 4

Calcular a frequência angular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot120=240\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 753,98\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade da onda v na corda usando v=\sqrt{T/\mu}:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{25}{0,00375}}=\sqrt{6666,666\ldots}\approx 81,65\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Agora calculamos a potência média usando
\overline{P}=\frac{1}{2}\mu v \omega^2 A^2.
Substituindo os valores (tudo mostrado em unidades SI):
\mu=0,00375\\ \mathrm{kg/m},\quad v\approx81,65\\ \mathrm{m/s},\quad \omega\approx753,98\\ \mathrm{rad/s},\quad A=0,0016\\ \mathrm{m}.
Primeiro calculemos \omega^2 A^2:
\omega^2=(753,98)^2\approx568498{,}6\\ (\mathrm{rad}^2/\mathrm{s}^2), \qquad A^2=(0,0016)^2=2,56\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Logo
\omega^2 A^2\approx568498{,}6\times2,56\times10^{-6}\approx1,455\times10^{-0}=1,455\\ (\text{unidades}\\ \mathrm{s}^{-2}\cdot\mathrm{m}^2\\ \text{combinadas}).
Agora toda a expressão:
\overline{P}\approx\frac{1}{2}\cdot0,00375\cdot81,65\cdot568498{,}6\cdot2,56\times10^{-6}.
Fazendo as multiplicações com atenção (mostrando uma ordem prática):
\overline{P}\approx 0,5\times0,00375\times568498{,}6\times2,56\times10^{-6}\times81,65.
Calculando numericamente obtemos
\overline{P}\approx0,223\\ \mathrm{W}.
(Arredondei para três algarismos significativos.)

Passo 7

Efeito de reduzir a amplitude à metade: como vimos \overline{P}\propto A^2. Se A passa para A/2, a potência passa para
\overline{P}_{\text{novo}}=\overline{P}\left(\frac{A/2}{A}\right)^2=\overline{P}\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{\overline{P}}{4}.
Numericamente:
\overline{P}_{\text{novo}}\approx\frac{0,223}{4}\approx0,0558\\ \mathrm{W}.

Resposta

a) 0,223\\ \mathrm{W}
b) A potência média reduz para um quarto do valor anterior: 0,0558\\ \mathrm{W} (ou seja, \overline{P}_{\text{novo}}=\overline{P}/4).

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